双轮自平衡小车的动力学建模与分析

摘 要 双轮自平衡小车本身具有不稳定、非线性等特点，使得对双轮自平衡小车的控制变得相当复杂。文章从双轮车结构出发，利用牛顿法建立数学模型，归一化处理后得到系统线性化模型，便于之后对双轮自平衡的仿真与控制。

关键词 双轮自平衡小车；本质不稳定；数学模型；牛顿法

中图分类号：TP242 文献标识码：A 文章编号：1671-7597（2014）05-0170-02

近些年来，对移动机器人的研究越来越深入，其应用领域越来越广泛，具有广阔的研究背景。双轮车是一种本质不稳定的特殊的轮式移动机器人，具有多变量、非线性等特征，对它的控制也比较复杂。文章从双轮车结构出发，利用牛顿力学建立数学模型，之后进行归一化处理，最终得到了系统的线性化模型，便于进一步对双轮自平衡小车进行控制。

1 系统模型建立

1.1 车轮模型

以两轮轴线方向为x轴，车体前进方向为y轴，过车轮轴中点竖直向上为z轴，建立坐标系。以右侧车轮为例，对其进行受力分析，如图1所示。

图1 两轮车右轮受力分析

根据牛顿力学方程，我们可以得到：

（1）

（2）

同理，我们可以得到左轮的平衡方程：

（3）

（4）

其中：是车轮的质量，为轮子的半径，是车轮的转动惯量，，分别为左右车轮的线加速度，，为左右轮与地面的摩擦力，，是左右轮水平方向的作用力，，是左右轮的角加速度，，分别为左右轮的转矩。

1.2 车身模型

平衡车车身的运动由绕车轴的相对转动和沿y轴方向的平动两部分构成，假设平衡车车身的倾角为，我们建立了平衡车车身的模型图（如图2所示）。

图2 两轮车车身的受力分析

我们可以得到车身的平衡方程：

（5）

其中：

（6）

（7）

车体的和外力矩：

（8）

其中：是除车轮外车身部分的质量，是车轮的平均位移，分别是左右轮的位移，，是质心的水平位移和线加速度，为车体质心到车轮轴的距离，是车身倾斜的角加速度，是左右轮竖直方向的作用力，是车体的转动惯量。

1.3 转向模型

下面我们讨论平衡车转向时的情况。假定平衡车转角为，我们做出了平衡车转向的示意图（如图3所示）。

图3 两轮车转向示意图

我们可以得到：

（9）

其中：

（10）

其中为平衡车的转角，是左右轮间的距离，是车体绕轴的转动惯量。

1.4 系统状态方程

平衡车由车身、轮子两部分构成，根据（1）-（10），消去中间变量，平衡车这样的动态系统可以被表示为：

（11）

（12）

（13）

假设车身倾角在范围内，将（11）、（12）、（13）线性化展开，我们的得到系统的状态方程：

2 结论

本文首先通过对自平衡小车进行受力分解，建立了自平衡小车车轮、车身和转向时的数学模型，然后通过牛顿力学方程建立了平衡车的动力学方程，并在此基础上求出了双轮载人小车的状态方程。

参考文献

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