巧解“电容器极板上电荷分布”问题

求解电容器极板上电荷的分布问题，是电学中的一个难点，解答这类问题需要综合电荷守恒定律、静电平衡条件及处于静电平衡导体的性质、电场线的性质等知识。练习、解答这类问题有助于提高形象、抽象思维能力和综合分析能力，从而逐渐形成创新意识，发展创新能力。

本人以为解答这类问题，关键要抓住“处于静电平衡的金属板内电场强度为零”这一点，再综合运用电场的有关知识即可顺利解答。由于两相互平行的，靠得很近的金属板所组成的平行板电容器，当极板带电时内部的电场为匀强电场。平行板电容器的电容为

由于其内部电场是两块极板上电荷所产生的电场的叠加，正、负极板所带的电量相等，因而在电容器内部，正、负极板所产生的电场相互加强；电容器外部，正、负极板所产生的电场抵消。无限大平行金属板所产生的电场是垂直于极板的匀强电场，场强为E0=2πkσ，方向垂直于极板向两侧无限伸展，如图1所示。因此无限大带电金属板在其附近所产生的匀强电场的电场强度正比于极板表面上分布的面电荷密度。对于孤立的带电金属板，由于其两侧表面上电荷在金属板内部所产生的电场大小相等、方向相反，从而相互抵消，如图2所示。

综上所述，求解平行金属板的带电问题时，根据带电金属板所产生的电场的性质，静电平衡性质及电荷守恒定律，可以得出金属板中心线两侧所带电荷的电量相等。下面举几例加以说明。

例1 两块相互平行的金属板A和B，分别带电量＋Q和－Q／2，完全正对地相互靠近，两板间距离为1mm，求金属板A、B上电荷的分布情况？

分析与解 设金属板A的左右两侧所带的电量分别为+x和Q-x，由于静电感应，B板左侧所带的电量必为-（Q-x），则由电荷守恒定律可得，B板的右侧所带的电量为Q/2-x。由于金属板B中央的电场强度为零，即A、B两板左右两侧电荷各自产生的电场在B板中央叠加后为零。再由电容器内部场强公式

例2 有平行金属板B、C组成的电容器，电容为C，带电量为2Q，B板带正电，C板接地。今将另一块与B、C完全一样的，带电量为＋Q的金属板A，从无穷远移近B，使A、B间距离恰好是B、C间距离的一半，且完全正对。今将在A板附近的质子释放，如图5所示，已知质子电量为e，质量为m，则质子穿过B板最后撞击C板的速度为多少？

分析与解 设金属板A左侧所带的电量为x，由电荷守恒定律可知A板的右侧为Q-x，根据静电感应，B板的左侧所带的电量必为-（Q-x），如前分析，同理有B板的右侧为3Q-x，同样由静电感应可得，C板的左侧所带的电量为-（3Q-x），因为C板接地，其右侧必不带电，这是因为假如右侧带正电的话，就有从C指向无穷远的电场线，沿电场线方向电势是降低的，则C比无穷远处的电势要高，而无穷远的电势为零，则C板的电势为正，现C板接地，电势为零，相互矛盾，故有C的右侧不可能带正电；同样，假如C板带负电，则C板和无穷远之间就有从无穷远指向C板的电场线，使C板的电势比无穷远要低，为负电势，但C板接地为零电势，因而也相互矛盾，故而C板右侧带负电也是不可能的。综合上述两种情况，C板右侧不带电。由于C板中央的场强为零，即A、B、C三板各侧电荷产生的电场在C板中央叠加后所得总场强为零。同前例中所述，由电容器内部场强公式

例3 一平行板电容器，极板面积可视为无穷大，将其两极板接地，今在两极板间Ｐ点放置一点电荷，其电量为＋Q，它到两极板间的距离分别为a和b，如图6所示。求放入此电荷后，电容器两极板上所带的电量？

分析和解 设Ｑ放于Ｐ点时，左右极板上的感应电荷分别为q1、q2，若把电荷向上沿平行于极板方向移到另一位置Ｐ′时，由于电荷Ｑ离无穷大的左右极板的距离不变，极板上的感应电荷仍是q1、q2，若把点电荷Ｑ一分为二，分别置于过P点且与极板平行的平面上的两点上时，由于它们与两极板的相对位置与原来一样，故两极板上的感应电荷与原来一样；若把Q等分为无穷多的小电荷，把它们均匀地置于过P的与两极板平行的平面上时，即相当于把电量为Q的电荷分布于与左右极板距离为a、b的金属板上，这时两极板上的感应电荷的电量仍q1、q2。这时该金属板与左右两金属板组成了两个平行板电容器，两个电容器所带的电量分别为q1、q2，如图7所示，q1、q2即为题设所求。

现设这两个电容器的电容分别为C1、C2。由于左右金属板接地，因而两电容器相互并联，电压相等，

讨论 与左右两金属板相距为a和b的P点置一点电荷Q，在金属板上的感应电荷的多少，与三块平行金属板，左右两块金属板接地，中间一块金属板带电量为Q时，左右两块金属板上的感应电荷多少相等。这虽然是两种不同的情景，其内部的电场完全不同，但金属板上所感应出来的电量却是相等的，本题的解答正是抓住了感应电量相等这一唯一的等量关系，使本题的解法化繁为简。

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