与顺序有关的排列组合问题探究

摘要：本文举例分析了排列与组合在与顺序有关的问题中的区别、与顺序有关的最短距离问题以及可转换为与顺序有关的排列组合问题，希望能给广大数学教师的教学带来一定的帮助。

关键词：数学教学；排列与组合；顺序

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）23-0139

在排列组合问题中，由于元素的顺序已定，即使是“没有差别的元素”，但由于其顺序不同，导致这些元素也应该看作不同的元素；如在进行的十次射击中，第一枪、第二枪都命中目标，但由于它们的顺序不同，故应看作不同的元素；在解决这些与顺序有关的计数问题时，可用排列、组合的常规模型进行求解，但在求解方法种数时，由于受到顺序的影响，可根据实际情况灵活运用排列、组合的常规模型。

一、排列与组合在与顺序有关的问题中的区别

例1. 飞碟（隶属射击项目），是奥运会射击比赛项目之一，由于其近似狩猎活动，趣味性强，深受人们的欢迎。某人在飞碟射击项目中射击8枪，命中4枪。

（1）命中的4枪中有恰好有两个两枪连续命中（不能出现四枪连续命中），有多少种不同的情况？

（2）命中的4枪中有且仅有三枪连续命中，有多少种不同的情况？

分析：（1）因为是两枪连续命中，可把连续命中的两枪“捆绑”在一起.由于两个“捆绑”在一起的“大元素”不相邻，可以采用插空法解决问题，但由于射击的顺序已定，不需对没有命中目标的射击（即不受限制的元素）再进行排列，又由于“捆绑”在一起两个的“大元素”之间没有差别，属组合问题；（2）解法同（1），但由于“捆绑”在一起的“大元素”与另一命中目标的一枪不相同，属于排列问题。

解：（1）把两个连续命中目标的两枪“捆绑”在一起，形成两个“大元素”，且这两个“大元素”不相邻，使用插空法。命中目标的4枪除外，还剩没有命中目标的4枪。

第一步，这剩余的4枪都是没有命中目标，元素相同，其排法只有一种；

第二步，把两个相同的“大元素”插入已经排好的4枪形成的5个空中，有C2种插法。

（如图所示，

如选中第一、第三个空位，则相当于第1，2，5，6枪命中目标）

根据分步乘法计数原理，其所有情况数有C2=10种。

（2）把连续命中目标的三枪“捆绑”在一起，形成一个“大元素”，且这个“大元素”与命中目标的另一枪不相邻，使用插空法，命中目标的4枪除外，还剩没有命中目标的4枪。

第一步，这剩余的4枪都是没有命中目标，元素相同，其排法只有一种；

第二步，把“捆绑”在一起的“大元素”和命中目标的另一枪共两个不相同的元素，插入已经排好的4枪形成的5个空中，有A2种插法。

（如图所示，

如选中第一、第三个空位，则相当于第1，2，3，6枪命中目标）

根据分步乘法计数原理，其所有情况数有A2=20种。

点评：本题实际上还是考查了不相邻问题，对于不相邻问题，我们往往利用了“插空法”使问题顺利地解决。

二、与顺序有关的最短距离问题

例2. 如图是由12个小正方形组成的3×4矩形网格，一质点沿网格线从A点到B点的不同路径之中，最短路径有多少条？

分析：从A点走到B点最短路线的做法，即只能向右或向下走，且只能走7步。这7步的顺序一定，向同一方向的可看着相同元素，所以只要在7步中确定哪些步向下即可解决问题。

解：总揽全局：把质点沿网格线从点A到点B的最短路径分为七步，其中四步向右，三步向下，不同走法的区别在于哪三步向下，

因此，本题的结论是：C3=35。

点评：观察分析并能通过分析得出解决问题的模型是解决此类问题的关键。

三、可转换为与顺序有关的排列组合问题

例3. （1）在连续自然数100，101，102，……999中，对于0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，取三个不同且不相邻的数字按递增或递减的顺序排成的三位数有 个。

分析：要完成这件事情需分两大步，第一步，从0到9这十个数字中选出三个不同且不相邻的数字，第二步，把选出的数字按递增或递减的顺序排列。难点在于第一步，但我们可以先借鉴例1的经验解决此问题。

解：第一类，选出的三个数字中含有“0”。

第一步，从剩余的9个数字中选出另两个数字，如图所示，

从可插空的8个位置中选出2个（如选第一、第五个空相当于选择数字1，5）共有种选法；

第二步，由于有数字“0”，所以只能按递增进行排列，各组数字各有一种排法，

根据分步乘法计数原理，可得含有数字有“0”且满足题意的数字共有C2×1个。

第二类，选出的数字不含数字“0”

第一步，从剩余的9个数字中选出另三个数字，如图所示，

从可插空的7个位置中选出3个（如选第一、第二、第五个空相当于选择数字1，3，7）共有C3种选法；

第二步，选出的数字按照题意有递增和递减两种排列方法，

根据分步乘法计数原理，可得含有数字有“0”且满足题意的数字共有C3×2个。

根据分类加法计数原理，可得满足题意的数字共有C2×1+C3×2=98个。

点评：题目中没有按顺序排列数字0到9，但为了运用例1的模型，我们可以通过创造条件使其满足例1的模型。这种方法是我们在本题中应着重学习的方法。

（作者单位：河南省正阳第二高级中学 463600）