例谈“变化率”

(1.北京林业大学理学院北京 100083)

(2.张家口市第一中学河北 张家口075000)

在众多的物理量之间的关系中，有一类普遍而重要的关系，即某物理量对于另一物理量的变化率是一个新的物理量.例如：位移对时间的变化率是速度；速度对时间的变化率是加速度；对单匝线圈，电动势等于磁通变化率；等等.变化率的几何意义是，函数曲线在某点的切线的斜率.

近年来，随着导数知识纳入高中数学教材，对物理量“变化率”的理解与应用，已成为物理高考命题的热点.同时由于高中物理教材的局限，在多个知识点上，对相关物理量之间存在的“变化率”关系，并没有明确阐述，从而造成学生高考的难点.因此有必要在高三物理总复习中，对下列知识点从“变化率”的角度加深理解，提高解决问题的能力.

1电流是电量随时间的变化率

对电容器充放电电路来说，电流i=ΔqΔt.

又由Δq=CΔu,

所以i=CΔuΔt.

例1(2013年高考新课标Ⅰ卷试题)如图1，两条平行导轨所在平面与水平地面夹角为θ，间距为L.导轨上端接有一平行板电容器，电容为C.导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面.在导轨上放置一质量为m的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触.已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g，忽略所有电阻.让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求：

(1)电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；

(2)金属棒的速度大小随时间变化的关系.

解(1)设金属棒m以速度v下滑时，感应电动势E=BLv.电容器两极板间电压U=E；电容器极板上积累的电荷量：q=CU,所以q=CBLv.

(2)金属棒m受重力mg；

支持力N=mgcosθ；

滑动摩擦力f=μmgcosθ；

安培力F=Bli作用，做加速运动.由牛顿第二定律

mgsinθ-μmgcosθ-BLi=ma(1)

又因为i=ΔqΔt=CΔuΔt,

且Δu=BLΔv,

所以i=CBLΔvΔt=CBLa(2)

(2)式代入(1)式整理得

a=mgsinθ-μmgcosθm+B2L2(3)

由(3)式可见金属棒沿斜面向下做匀加速直线运动，

所以v=mgsinθ-μmgcosθm+B2L2t.

上述解题过程的关键是找出回路中的电流、电压与金属棒运动的速度、加速度之间的关系，而电流i=ΔqΔt,则是关节点与突破口.

2电场强度是电势随空间的变化率

高中物理教材给出了匀强电场中电场强度E与电势差U的关系：E=Ud.实际上这一关系可以推广到非匀强电场，对任意静电场有

E=-dφdlcosθ,

式中dφ=φ2-φ1，为相距十分临近的两点间的电势差；dl为这两点间的距离；θ为这两点连线方向与等势面法线方向的夹角；负号表示电场强度E的方向与电势梯度方向相反.

特殊地，当电场强度方向沿x轴时，在x轴上相距十分临近的两点间的距离为Δx，这两点间的电势差为Δφ，则电场强度的大小为：E=ΔφΔx.可见，电场强度是电势随空间的变化率，电势随空间变化的快慢反映了电场强度的大小，电场强度的方向指向电势降落最快的方向.

例2(2009年江苏高考题)空间某一静电场的电势φ在x轴上分布如图2所示，x轴上两点B、C的电场强度x方向上的分量分别是EB、EC，下列说法中正确的有

A.EB的大小大于EC的大小

B.EB的方向沿x轴正方向

C.电荷在O点受到的电场力x方向上的分量最大

D.负电荷沿x轴从B移到C的过程中，电场力先做正功，后做负功

解根据电势与电场强度的关系可知，图象上某点切线斜率的绝对值，等于这一点的场强沿x轴方向分量的大小，即Ex=ΔφΔx=|tanθ|，其中θ为图象上某点切线与x轴正方向间的夹角.在图上做出B、C两点的切线，可见B点的切线斜率绝对值大于C点的切线斜率绝对值，即“EB的大小大于EC的大小”，所以A正确.同时，可以根据电场强度的方向是电势降落最快的方向，判断出EB方向沿x轴负方向，EC方向沿x轴正方向，B错误.

在O点的切线斜率等于零，所以电荷在O点受到的电场力x方向上的分量为零，C错误.

在O点左侧，电场沿x轴分量的方向为x轴负方向；在O点右侧，电场沿x轴分量的方向为x轴正方向.所以：“负电荷沿x轴从B移到C的过程中，电场力先做正功，后做负功”，D正确.

例3(2010年江苏高考题)空间有一沿x轴对称分布的电场，其电场强度E随x变化的图象如图3所示.下列说法中正确的是

A.O点的电势最低

B.x2点的电势最高

C.x1和-x1两点的电势相等

D.x1和x3两点的电势相等

解图象关于原点中心对称，说明电场强度E是沿x轴对称分布的，电场线以O点为中心指向正、负方向，沿电场线电势降落，所以O点电势最高，A错误；根据Δφ=EΔx，取无穷远处为零电势，x轴上某点的电势可以用该点和无限远之间E-x图象的面积表示.注意此处，当x

实际上，例2给出的φ-x图象和例3给出的E-x图象,分别反映的是等量正点电荷连线的中垂线上的电势和场强的分布情况，是同一物理模型的两个侧面.对图2的φ-x图象求导，即可得到图3的E-x图象.理解电场强度是电势随空间的变化率这一关系，是正确求解的关键.

3功率是能量随时间的变化率

由W=ΔE，和P=Wt，可得P=ΔEΔt.即能量随时间的变化率等于功率.具体地，动能随时间的变化率等于合外力的功率；重力势能随时间的变化率等于重力的功率；一物体沿不光滑斜面加速下滑时，物体克服摩擦力做功的功率等于其机械能的变化率；等等.

例4一个质量m=1 kg的物体，受到竖直向上的拉力F拉作用，由静止开始向上做加速运动.其动能Ek随时间t变化的函数关系如图4中曲线L所示.图中直线MN为曲线过Q点的切线.求t=3 s时，拉力F拉的大小.(g=10 m/s2)

解由图中Q点的坐标值可知：t=3 s时,

物体的动能Ek= 40.5 J，

因为Ek=12mv2,

所以此时物体的速度v=2Ekm=9 m/s.

合外力在t=3 s时的功率P等于动能的变化率，即切线MN的斜率，由Q、N两点的坐标值可得：

P=ΔEkΔt=EkQ-EkNtQ-tn=54 W,

因为P=F合v,

所以此时物体所受的合外力

F合=F拉-mg=Pv=6 N,

所以F拉=F合+mg=16 N.

从本题描述的物理情景来看，物体的运动不是匀变速运动，物体所受的合外力在不断变化.只有抓住动能随时间的变化率等于合外力的功率这一关键，利用Ek-t图线过Q点的切线的斜率，求出t=3 s时的功率，才能求得拉力F拉.