“正难则反”策略在数学解题中的应用举例

【摘要】解题策略是解答数学问题时，总体上采取的原则、方针或方案。解题策略不同于具体的解题方法，它是指导方法的原则，是解题途径的概括性认识和宏观把握。在数学解题时，人们思考的习惯大多是正面的、顺向的。可是有些数学问题如果正面的、顺向进行，则难以解决，这时就应该转为反面的、逆向思考，这就是正难则反策略。这种策略提醒我们，顺向推导有困难时就逆向推导，正面求解有困难时就反面求解，直接求解不奏效时就间接进行，有着四两拨千斤之巧妙。本文通过例题对“正难则反”解题策略进行了分析，充分体现了“正难则反”策略在解题时的强大功效。

【关键词】解题策略；正难则反；逆向思维

中图分类号：G62文献标识码A文章编号1006-0278（2015）10-168-04

一位农夫请了物理学家、工程师和数学家来，想用最少的篱笆围出最大的面积。工程师用篱笆围出一个圆，宣称这是最优设计。物理学家将篱笆拉成一条直线，假设篱笆有无限长，认为围起半个地球总够大了。数学家一声不响地用很少的篱笆把自己围起来，说道：“我现在是在外面”。

无独有偶，为了修建一座动物园，决策者特意举行了专家论证会。关于“怎样才能捉住老虎”这个问题，有专家建议找最勇敢的人并配置最先进的装备；有专家建议挖最隐蔽的陷阱并投放最美味的诱饵；还有的专家建议花重金到别的动物园购买老虎幼仔……但决策者对这些建议均感到不满意。

“我只需要用一个拓扑变换，把笼子内部变成外部，而把外部变成内部。不管哪里有老虎，都可以用这种办法捉到。”一位拓扑学家的话使决策者恍然大悟：即使没有办法把老虎关在动物园的笼子里，却完全可以把动物园建到有老虎的地区，让老虎在自然环境下生活，把参观者关进活动的“笼子”，使之在密封的汽车里游览。

要把老虎关进笼子里，的确不是件容易的事，但把游人关进“笼子”里却很简单。这种思维方式称为“正难则反”。有许多数学问题，从正面入手不容易找到解决途径，有时虽有线索，但困难重重。如果改由反面入手，通过逆向的探索常常能出奇制胜。

在数学解题时，人们的思维习惯大多是正面的、顺向的。但是，有些数学问题正面或顺向进行难以解决，则不妨进行正面或逆向思考。这就是上面故事中提到的“正难则反”策略。这种策略提醒我们，从正面解决问题困难时可考虑反面求解，直接解决问题复杂时可考虑间接求解，顺推困难时可考虑逆推。这种思维实际上就是逆向思维，体现了思维的灵活性。正确巧妙运用“正难则反”策略求解数学问题，常常使人茅塞顿开，突破思维定势，从而使思维进入高一阶的境界。

下面就从几个例子来谈谈这种“正难则反”策略在高中数学解题中的应用。

分析：不能够直接证明∠PFC=∠PCF，因此需分别找出与它们相关的桥梁，把已知条件与结论联系起来。因为PC是圆O的切线，∠PCF是弦切角，可以考虑作铺助线BC。

倒推如下：

假设∠PFC=∠PCF，∠PFC=∠AFE，由于PC是圆O的切线，AB是直径，所以∠PCF=∠ABC，∠ACB=90°

∠AFE+∠A=90°PEAB

这样，将上例过程逆推就可以得到本题的证明。

证明：PEAB

∠AFE+∠A=90°

∠PFC=∠AFE

∠PFC+∠A=90°

PC是圆O的切线

∠PCF=∠ABC

又AB是圆O的直径

∠ACB=90°

∠ABC+∠A=90°

∠PCF+∠A=90°，由∠PFC+∠A=90°

∠PFC=∠PCF

说明：本题的逆向思维是结合一些已知条件的推理，最后推理出另一已知条件，在考虑各步的可逆性时要灵活变动援用过的已知条件，使各步均可逆推。

“正难则反”策略解题是数学解题中很重要的方法，是一种迂回策略，它要求我们在解题时必须解放思维、拓宽思路、灵活应对。本文旨在抛砖引玉，引起大家的思考，发现数学的魅力，期待大家共同思考。

参考文献：

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[3]刘文贵.例说运用逆向思维解数学题[J].新疆石油教育学院学报，2005（06）.

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