获得数学活动经验的四个不等式

数学活动经验是指在教学目标的指引下，在数学活动过程中形成并在遇到相似情境时可以忆起的某种体验、方法性知识或某种观念。随着新课程标准的修订颁布，数学活动经验在课程目标中被作为“四基”之一进一步明确，地位得到进一步凸显，其作为数学课堂教学的核心目标予以落实已成为大家的共识。但在实际的教学过程中，数学活动经验的获得往往只是停留于理念层面，浮于表面，追求形式。现结合案例谈谈笔者的想法。

一、 “活动了”不等于“建构了”

生动活泼、主动而富有个性的学习活动，对于学生经历数学学习过程、获得数学发展具有重要意义，然而如果只把焦点放在活动的热闹与否、学生参与的积极性上，难免会出现脱离概念本质、远离数学意义的尴尬。

教学“三角形稳定性”这一课，为了让学生体验三角形稳定性和平行四边形的易变形，教师给每个学习小组准备了用钉子连接木棒后组成的三角形、平行四边形学具。学生组内配合，用力拉（推）学具，气氛十分热烈。三角形怎么拉也不动，平行四边形轻易就能拉（推）动，两者对比明显，学生印象十分深刻。可是，当练习中出现楼梯扶手中平行四边形形状的图形时，许多学生也认为它具有稳定性，原因是“这个图形很结实，怎么拉（推）都不会动的。”原来，学生从活动中得到的“经验”是：凡是使劲拉（推）、物体形状不变的就具有稳定性，拉（推）得动就不具稳定性。显然，与三角形稳定性的概念“三角形三条边长度确定，其大小、形状也就确定”的活动经验要求相背。如果把活动修正，让学生用三根小棒围成不同的三角形，引导学生观察交流，体验出所围成的三角形“除了姿势不同外，形状和大小完全一样”这一稳定性概念的本质，就可以有效地避免理解歧义。

要知道，学生的数学活动经验是在参与数学活动的基础上获得的，有什么样的数学活动，学生就能得到相应的数学活动经验。只有符合数学本质的数学活动，才能在对话交流与深刻反思等作用下，使得原初经验得到改造和提升，完成数学活动经验从低层次理解到高层次建构的生长。

二、 “经历了”不等于“获得了”

数学活动经验必须以数学活动经历为基础，但学生经历或参与了数学活动，并不意味着他们就能获得充足的数学活动经验。数学活动经验有别于日常生活经验，必须是指向教学目标的学习活动的结果，往往需要在类似的数学活动中反复经历，在思维的碰撞、选择、重新定向中才能获得。

教学“可能性”时，需要让学生经历摸球活动，体会游戏规则的公平性。课前调查中了解到，不少学生把游戏规则的公平理解为：红黄两种颜色的球的个数相等，在游戏规则公平的前提下，游戏的结果应该是摸到两种球的个数完全相等。这个认识误区正是教学中的难点所在，如果仅仅让学生在课堂上经历“哪种颜色球摸到次数多，哪种颜色球摸到次数少”的操作过程，而缺少有效的提炼总结，经历便只是一种形式，最终得到的只能是缺失数学意义的不完整的基本活动经验。因为摸球活动本身并不具备多少数学意义，只有数学思维的深度介入才使其具有数学意义。

因此，教学中需要注意两个方面：一是经历活动体验前的预测。教师提问：“现在，红球和黄球的个数一样多了，你觉得摸球的结果会怎样呢？”生1：“两种球摸到的次数应该相等。”生2：“两种球摸到的次数应该差不多。”……师：“在规则公平的情况下，摸球的结果到底会怎样呢？实践出真知，大家分组动手试一试。”学生进行摸球活动，教师巡视。二是经历体验后的数据分析总结。师：“观察各小组的活动记录，大家有什么发现？”生：“有的摸到红球次数多一些，有的摸到黄球次数多一些，也有相等的；我觉得公平只是表明了摸到的可能性相同，摸球的结果并不一定每次都是一样多的。”……师：“看来，游戏规则的公平，只是表示双方赢的机会均等，即理论上来说是相等的，实际操作中更多的时候是差不多。假如我们把各组的结果都汇总起来又会有什么发现呢？”……活动经历并不等同于活动经验。指导学生对各组的统计数据进行比较及对各组数据汇总后再审视的分析方法，提升了数学思维含量，有利于将数学经历中悟到的感性经验上升到理性认识，对于学生获得真正意义上的数学活动经验显得尤其重要。

三、 “亲历的”不等于“唯一的”

有的教师认为，既然是活动经验，那就一定是学生亲历所得。其实不然，亲历，是获得数学活动经验的重要方式，但却不是唯一的方式。小学生获得数学活动经验的途径，与其“具体形象思维为主，从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡”的思维特点相符合，即在主要参与具体活动中获得直接经验的同时，也应当寻求在直接经验无法获得时，以观察经验等作为“替代性经验”来弥补直接经验的不足。

教学“圆的面积”时，学生通过操作，把圆先后平均分成了4份、8份、16份、32份……分的份数越多，每一份小扇形就越接近“小三角形”，拼成的图就越接近“长方形”，而真实的数学活动结果是不是这样？由于手工操作越来越难，学生很难得到具体直观图形的验证。这时，教师适时地播放课件，形象直观演示出“化曲为直”的动态变化过程。学生在观察过程中获得了观察经验，一致得出了每一份小扇形 “就是小三角形”，拼成的图“就是长方形”的结论，验证了想象、推理的结果，满足了心理需求，获得了极大的情感体验，充实了数学活动经验的具体内容。

又如在解决问题“有一台插秧机的作业宽度是2.1米，按每小时行进6千米的速度计算，每小时可以插秧多少平方千米？”时，对于没有见过插秧机工作的学生，很难理解“作业宽度”的含义。如果条件许可，教师可以组织学生去实际观察插秧机播种的场景，也可以播放视频或者制作课件进行演示，从而使学生积累关于“作业宽度”的经验；甚至有教师给学生做这样的演示：把黑板看作是一块等待插秧的田地，将一枝粉笔横卧看成是插秧机，随着“开始插秧”的指令，粉笔慢慢地前进，黑板上渐渐出现了长方形的粉笔经过的痕迹，老师引导学生理解：“粉笔的长相当于粉笔画出部分的宽度，也就是插秧机的作业宽度”。学生在愉悦的气氛中理解了作业宽度。

由此可见，适时运用现代教育技术手段，或者因地制宜，充分整合动手操作、板书演示等各种教学手段，让学生在观察、模仿、想象中获得类似于身临其境的亲历体验，可以有效促进学生获得广泛的、丰富的、完整的数学活动经验。

四、 “积累了”不等于“提升了”

数学学习一个明显的特点是具有累积性，后一阶段的学习是建立在学生已有知识经验基础之上的，是对前一阶段知识经验的深化与发展。因此，如果仅仅满足于学习过程中某一感性层面的粗浅的生活经验或活动经验的获得，那是远远不够的，需要通过一定的教学手段，引导学生对活动过程进行总结、反思与提升，揭示出感性经验背后的理性、抽象的数学经验，真正把感性经验提升到理性经验，让学生学习思考的数学。

教学“分数的意义”时，引导学生取一张正方形纸，用折一折的方法，表示出其中的1/2。学生凭借已有的经验，折出了多种方法，如图1～图4：

对于这些折法，许多老师觉得关于1/2的活动经验积累已经足够多了。事实上，如果仅停留在这几种具体折法上，学生获得的还只是表面的生活经验。可以引导学生进一步观察、比较：“比一比这四种折法，你能找出它们有什么共同的地方？”让学生深入思考，交流得出“这些折痕都经过了正方形的中心点”，然后让学生再次动手验证：“那你觉得沿正方形的中心点对折，每一份都会是正方形的1/2吗？”学生由此又探索出新的折法，如图5、图6，从而把学生个别的、肤浅的实践经验提升为普遍的、抽象的理性经验，使学生认识到“只要沿正方形的中心点对折，其中的一份就可以用1/2来表示”这一具有广泛意义的数学概念。

这种重思考、重探究的方法性活动经验，是对学生既有经验的筛选、整理、优化和提升，能够有效实现数学经验的改造和重组，以帮助学生生成新的经验，促进学生的活动经验上升到更高水平，使模糊的变得清晰，片面的变得完善，错误的变得正确，零散的变得结构化。

总之，教师要从有利于促进学生主动建构数学的高度出发，注意适时积累和提升学生的数学活动经验，引领学生经历“数学化”的过程，让学生由表及里获取理性的数学经验，使学生的数学学习成为学科的数学，理性的数学，有意义、有价值的数学，进而促进学生主动、可持续的数学发展。