微元法在《电磁感应》中的应用

物理学追求认识自然界最普遍、最基本的规律。学生学习物理，就要注意养成追根问底、悟物穷理的思维习惯，这有利于提高学生的理性思维能力。新教材在《电磁感应》这一章中较老教材做了许多改动，从电磁感应现象，本质、规律三方面进行阐述，旨在达到上述效果。但是由于高中学生在物理理论知识和数学知识两方面都有不足，学习时做不到深究，从而造成对电磁感应的认识不到位，而微元法能很好的加深理解和应用。

1 电磁感应现象

大量的实验说明只要穿过某一闭合回路的磁通量发生变化，闭合回路中就有电流产生，磁通量的变化有以下两种情况：

（1）B不变化而闭合电路的整体或局部在做切割磁感线运动，这样产生的感应电动势叫做动生电动势。

（2）B变化而闭合电路的任一部分都不动，这样产生的感应电动势叫做感生电动势。

2 产生电动势的原因

（1）动生电动势的产生原因――洛伦兹力

如图1所示，金属杆ab以速率v向右平移，它里面的电子也随之向右运动，向右运动的电子因处在磁场中所以要受到[TP12GW167。TIF，Y#]洛伦兹力作用，由左手定则可以判断洛伦兹力方向向下，沿杆的洛伦兹力驱使自由电子向下运动，闭合线框中便出现逆时针方向的电流，这样在杆ab中就产生了动生电动势，运动着的杆ab就相当于电源。

（2）感生电动势产生的原因――感生电场力

通过实验观察杆不动磁场变化时的电磁感应现象，自然会提出什么力驱使电荷定向移动呢？麦克斯韦认为，变化的磁场会激发一个闭合电场，我们称之为感生电场或涡旋电场。感生电场对自由电荷的感生电场力充当了非静电力驱使闭合回路中的自由电荷定向移动，形成了电流，产生了感生电动势。

3 感应电动势大小的计算方法

3。1 匀强电场中的动生电动势大小的计算方法

方法一 从产生原因入手――洛伦兹力作用

如图2所示，金属杆ab以速率v向右平移，则自由电子受到的沿杆的洛伦兹力f=evB，电子从金属杆一端移动到另一端（相当于从电源的一极移到另一极），此力做功Wf=fl，而Wf=eE，联立以上三式可解得E=Blv。

方法二 运用E=ΔΦ/Δt

假设金属杆向右运动一极短时间Δt，由于时间极短金属杆的运动可以视为匀速运动则扫过的面积是vΔtl，

所以[JZ]E=[SX（]ΔΦ[]Δt[SX）]=[SX（]B（S+ΔS）-BS[]Δt[SX）]=[SX（]BΔS[]Δt[SX）]

=[SX（]BvΔtl[]Δt[SX）]=Blv。

说明：由此可见利用动生电动势产生原因――洛伦兹力作用和法拉第电磁感应定律计算动生电动势是等效的。这不仅能说明电磁感应定律是正确的还可以说明E=Blv是E=Δφ/Δt的特殊情况。因此在计算动生电动势时可以任选其一但不能重复计算，其中ΔΦ=BΔS是因为金属杆运动而引起的磁通量变化。

（2）感生电动势大小的计算方法――E=ΔΦ/Δt

虽然感生电动势的产生原因是感生电场力作用，但由于即便使用大学知识也不容易求出感生电场的场强，高中只需了解，不需计算感生电场。因此我们不能从产生原因入手，只能利用法拉第电磁感应定律入手，设磁场变化一极短时间Δt，则

[JZ]E=ΔΦ/Δt=（B+ΔB）S-BS=[SX（]SΔB[]Δt[SX）]，

其中ΔΦ= SΔB指的是由于磁场变化所引起的磁通量变化。

（3）同时存在动生电动势和感生电动势时的计算方法

情景分析 如图2所示金属杆ab以速率v向右平移的同时磁感应强度不断变化。假设金属杆向右运动一极短时间Δt，由于时间极短所以ΔB、Δv、ΔS均趋近于零，但ΔB/Δt、ΔS/Δt不趋近于零，他的大小反映了磁场变化的快慢和杆的运动快慢。由E=ΔΦ/Δt得

E[WB]=[SX（]（B+ΔB）×（S+ΔS）-BS[]Δt[SX）]=[SX（]ΔBS+BΔS+ΔBΔS[]Δt[SX）]

[DW]=[SX（]ΔBS+BΔS[]Δt[SX）]

=[SX（]ΔBS[]Δt[SX）]+[SX（]BΔS[]Δt[SX）]=[SX（]ΔBS[]Δt[SX）]+[SX（]BvΔtl[]Δt[SX）]

=[SX（]ΔBS[]Δt[SX）]+Blv。

总结 通过微元法的分析可以发现：磁通量的变化包括两部分ΔBS和BΔS。ΔBS指的是由于磁场变化所引起的磁通量变化；BΔS是因为金属杆运动而引起的磁通量变化。这实际上体现了控制变量法思想：我们可以先假定金属杆不动，则磁通量改变了ΔBS；再假定磁场不变，则磁通量改变了BΔS。所以ΔBS/Δt计算的是感生电动势部分；Blv计算的是BΔS/Δt部分即动生电动势部分。在具体计算中还需判断两电动势的方向，求出总的电动势。

例1 如图3所示，两根平行金属导轨固定在水平桌面上，每根导轨每米的电阻为r0=0。10 Ω/m，导轨的端点P、Q用电阻可忽略的导线相连，两导轨间的距离l=0。20 m，有随时间变化的匀强磁场垂直于桌面，已知磁感应强度B与时间t的关系为B=kt，比例系数k=0。020 T/s。一电阻不计的[TP12GW169。TIF，Y#]金属杆可在导轨上无摩擦地滑动，在滑动过程中保持与导轨垂直。在t=0时刻，金属杆紧靠在P、Q端，在外力作用下，杆以恒定的加速度从静止开始向导轨的另一端滑动，求在t=6。0 s时金属杆所受的安培力。

[HJ1。55mm]

解 以a表示金属杆运动的加速度，在t时刻，金属杆与初始位置的距离L=at2/2，此时杆的速度v=at，这时杆与导轨构成的回路的面积S=Ll，此时的磁感应强度B=kt，又根据愣次定律和右手定则可以判断出两种电动势的方向相同，所以回路中的感应电动势E=SΔB/Δt+Blv。

又因[JZ][SX（]ΔB[]Δt[SX）]=[SX（]k（t+Δt）-kt[]Δt[SX）]=k，

回路的总电阻R=2Lr0，回路的感应电流i=E/R，

作用于杆的安培力F=Bli，联立以上各式解得

[JZ]F=[SX（]3k2l2t[]2r0[SX）]，

代入数据得[JZ]F=1。44×10-3 N。

（4）在B随位置而改变的场中切割磁感线运动时电动势的计算方法

情景分析 在图2中若B随x的增大而增大。假设金属杆向右运动一极短时间Δt，扫过一面积ΔS。因为Δφ=φ′-φ，虽然B随x的增大而增大，但原有面积上的磁场分布与原来的一样即该部分的磁通量没有任何变化，所以整个回路上的磁通量变化仅是ΔS上的那部分。

所以E=[SX（]BΔS[]Δt[SX）]=[SX（]BvΔtl[]Δt[SX）]=Blv。

总结 只有B随t变化的磁场才能激发感生电场，B随位移变化的电场不能激发电场，只能存在动生电动势。[TP12GW170。TIF，Y#]

例2 一个质量为m、直径为d、电阻为R的金属圆环在范围很大的磁场中沿竖直方向下落，磁场的分布情况如图4所示。已知磁感应强度竖直方向的分量By的大小只随高度y变化，其随高度变化的关系为：By=B0（1+ky）（此处k为比例常数，且k>0），其中沿圆环轴线的磁场方向始终竖直向上。在下落过程中金属圆环所在的平面始终保持水平，速度越来越大，最终稳定为某一数值，称为收尾速度。求：（1）圆环中的感应电流的方向。（2）圆环收尾速度的大小。

分析 这是一个磁感应强度随位置变化而变化的恒定的非匀强磁场，不能激发电场，所以不存在感生电动势、只存在动生电动势。线圈运动时切割的是磁感线的水平分量Bx，由于其水平分量Bx未知，故不能从E=Bxlv计算；由于知道与线圈平面垂直的分量By的规律，所以可以从E=ΔΦ/Δt计算。

解 （1）根据愣次定律可知，感应电流的方向为顺时针（俯视观察）

（2）圆环下落高度为y时的磁通量为

[JZ]Φ=BS=[SX（]Bπd2[]4[SX）]=[SX（]B0（1+ky）πd2[]4[SX）]。

设收尾速度为vm，以此速度运动了Δt时间，则圆环内磁通量的变化为

[JZ]ΔΦ=ΔBS=[SX（]B0kπd2vmΔt[]4[SX）]，

根据法拉第电磁感应定律有

E=[SX（]ΔΦ[]Δt[SX）]=[SX（]B0kπd2vm[]4[SX）]，

圆环中感应电流的电功率 PE=[SX（]E2[]R[SX）]，

重力做功功率[JZ]PG=mgvm，

根据能的转化和守恒定律有 PE=PG，

联立以上各式解得[JZ]vm=[SX（]16mgR[]π2k2B20d4[SX）]。