带着“怎样解题表”中问题进行高三二轮复习

一、教学任务：本节课选择2011年（理科）（浙江卷）第16题：设 为实数，若 ，则 的最大值是 。以此为范例，运用《怎样解题》一书中的数学解题理论：“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”四大步骤来实施解题过程。

二、教学目标：高考数学复习要讲究有效性，如何优化解题教学，提高复习的效果呢？本节课运用波利亚《怎样解题》中的数学解题理论，通过对典型试题、典型解法的分析和研究，开发它的价值。使学生能运用这个解题理论，形成良好的解题习惯。

三、学情分析：经过第一轮的复习，对高中所学的数学知识进行全面的梳理和复习，即系统地整理知识，优化了知识结构。学生具备了一定的解题经验，基本认识了各种数学基本方法、思维方法及数学思想。但是面对高考，有些同学做了很多试卷，成绩却没有提高，他们对此很委屈很无奈。这是因为这部分同学他们在做题的时候没有多动脑子。只是死记公式、题型、机械模仿，做题的时候也只是照葫芦画瓢，题型稍一改变，他们就不会做了。从近几年的高考试题来分析，“题海战术”收效甚微，“题海战术”在能力培养方面主要表现为提高模仿力与复制力，而高考更注重学生数学素质和能力的考查。为了达到高考的要求，使学生顺利的通过升学考试，适应以后的大学的学习，我认为应该在高考数学复习中渗透波利亚解题的思想，这就要求我们花一些时间把习题当成一个问题去钻研思考，对做题方法进行归纳总结，看看运用了哪些方法解决了哪些问题，有没有什么独到之处，题目中有没有特别的限制条件等等。

四、教学设计

（一）课前练习

1．设 ，则 的最小值是

A．1 B．2 C．3 D．4

2．已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是

A．3 B．4 C． D．

3，已知椭圆 的离心率为 ，短轴一个端点到右焦点的距离为 ．

（Ⅰ）求椭圆 的方程；

（Ⅱ）设直线 与椭圆 交于 两点，坐标原点 到直线 的距离为 ，求 面积的最大值．

设计说明：重温第一轮复习中求最值的基本方法，对于第3题放在预习中，为了能在上课中有效的突破此题的难点。

（二）典例剖析

例1设 为实数，若 ，

（1） 的最大值；（2）求 的最大值。

设计说明

（1）题目的典型性

①.设 为实数，若 ，则 的最大值是 （2011年（理科）（浙江卷）第16题）

②．设 为实数，首项为 ，公差为 的等差数列 的前 项和为 ，满足 ，则 的取值范围是_______________（2011年（理科）（浙江卷）第15题）

③．已知圆心角为120° 的扇形AOB半径为 ，C为 中点．点D，E分别在半径OA，OB上．若CD 2＋CE 2＋DE 2＝ ，

则OD＋OE的取值范围是 ．（2012年（理科）（浙江高考考试说明样卷）第17题）

（2）方法的重要性

从本题的解法探究，让学生领悟各种数学基本技能、思维方法及数学思想，夯实基础，厚积薄发。

教学过程

第（1）问简单易求，弄清题意即可求，同学们也很快有了答案：

， 即

所以，当 ， 时，

对于（2）可以设问：这里已经有一个解决的问题（1）。你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你是否利用了整个条件？你能否将条件或结论作一下变换？

当学生从（1）出发，思路受阻，需要更深入理解问题，于是出现如下的思维链。

令2x+y=t,于是有

所以2x+y的最大值为

回顾：你能判断上述解答是否正确？即满足条件的x,y是否存在，你能否用别的方法导出这个结果？ 你能不能把这个结果或方法用于其他的问题？

解2：设2x+y=t，则y=t-2x代入 中有

将它看作一个关于x的二次方程，则由判别式大于等于0，可得

解得 ，2x+y的最大值为 。解3：由 得 ，于是有

所以2x+y的最大值为 。

解法1运用基本不等式构建未知量的不等式，解法2就是平常的判别式法，在教师看来似乎平常，但在2010年高考试题中难住了不少考生，解法3通过对二次三项式的配方，对思维再一次提升。正如波利亚所说：“如果不变化问题，我们几乎不能有什么进展。”通过以上问题的训练能有效地培养学生的审题能力，经过审题将问题转化为其他等价形式，培养学生分析隐蔽条件的能力，化简转化为已知和未知的能力。波利亚在《怎样解题》表第二步“拟定计划”中指出寻找解法实际上就是找出已知量与未知量之间的联系。

例2设 为正实数，若 ，求 的最小值。

设计说明

本题是例1的一个变式题，以学生的操练为主，从学生的解答入手，旨在巩固解决这类问题的思想方法与基本技能。

例3给定两个长度为1的平面向量 和 ，它们的夹角为 .

如图所示，点C在以O为圆心的圆弧 上变动.若 其中 都是正数，则 的取值范围是________.（根据2009安徽卷理第16题改编）

设计说明

本题是一个向量与不等式的综合题，在“弄清问题”、“拟定计划”中，可向学生设置一系列问题，形如 的问题之前是否遇到过，有什么转化的方法等， 这个问题解决了，回归为例1的问题了，突出化归的思想的运用。

例4已知椭圆 的离心率为 ，短轴一个端点到右焦点的距离为 ．

（Ⅰ）求椭圆 的方程；

（Ⅱ）设直线 与椭圆 交于 两点，坐标原点 到直线 的距离为 ，求 面积的最大值．

设计说明

解析几何就是用代数方法来研究几何问题，主要有两大任务：一是根据曲线的几何条件，把它用方程的形式表示出来；二是通过曲线的方程来讨论它的几何性质．因此处理解析几何问题，不仅要理解和掌握解析几何自身的概念和计算公式，如两点间的距离、直线的斜率、圆锥曲线的准线和离心率等．还要善于综合地运用代数的知识和方法，如讨论一元二次方程根的情况，解二元二次方程组，在某已知条件下，求代数式的最大值或最小值等．在某种意义下，我们甚至可以说，后者比前者更为重要，且更难，这也是本节课需要解决的。

教学过程

（Ⅰ）椭圆方程为 ．（学生已完成）

（Ⅱ）设 ， ．

（1）当 轴时， ．（在这里这个不写，不影响本题的解答。）

（2）当 与 轴不垂直时，

设直线 的方程为 ．

由已知 ，得 ．

把 代入椭圆方程，整理得 ，

（为了不影响本节课重点的复习，以上部分要求学生在课外完成，教师只需PPT放一下）

接下来设置提问：（1）你过去有没有遇到过 最大值计算问题；（2）想一想，你能用什么方法来解决它；（3）有没有简单的方法等；（4）实施你的解决方案。

方法一：函数的观点，求导解决；

方法二：基本不等式的运用；

简便方法：（1）令 ；（2）“凑”

反思小结

在高考复习中，“题海”是客观存在的，我们应研究对付“题海”的战术，波利亚的“怎样解题”表虽不如阿里巴巴的金钥匙，我们也没有必要所有的问题都按表中条条框框去做，但它给出了探索解题途径的可行方法，能使我们的学习“由厚到薄”，只要按波利提出的这些问题和建议去寻找解法，在解题的过程中，必将使自己的思维受到良好的训练。最后，通过课前练习题：2．已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是______，与学生共同总结本节课呈现的数学思想——函数与方程的思想。经过消化、融会贯通, 并能从其中提出带有关键性的问题,完全变成为精炼的东西, 这个时候才能说真懂了, 比较深透了.

五．反馈练习

1．已知 ，且 ，求 的最大值；

2．如图，扇形 的弧的中点为 ，动点 分别在线段 上，且 若 ， ，求 的取值范围。

3．设对任意实数x>0，y>0，若不等式 恒成立，求实数a的最小值。

4．已知圆心角为120° 的扇形AOB半径为 ，C为 中点．点D，E分别在半径OA，OB上．若CD 2＋CE 2＋DE 2＝ ，则OD＋OE的取值范围是 。