构造法在高中数学中的运用

随着教育的发展，题海战术已经无法适应现代教育的要求，也不符合素质教育的标准，因此，高中数学教师在教学中，在保证一定题量的基础上，让学生转换思维，能够借用一类问题的性质来研究另一类问题.而构造法正是思维转换的具体表现.从根本上看，构造法思想的核心是根据题设条件的特征恰当构造一种新的形式.也就是说，当学生在解题过程中，发现使用常规办法去探求解题途径不起作用时，教师就应该有针对性地引导学生根据题设及其特点展开有效的联想，并最终打开思路，找到其他的解题方法.而从教学作用上看，充分地运用构造法解题，也是培养学生创造性思维的一种有效方法.

一、构造函数解题

高中数学是整个中学数学的集合体，里面的知识联系密切，环环相扣.学生只有整体把握，才能取得更好的成绩.而在高中数学中，有些问题看似与其他知识点毫不相干，但实际上却是关系密切.比如说有些数字题似乎与函数无关，但是如果我们根据题设的特点，就可以构造一个函数，然后再利用函数的有关性质来解决问题.

【例1】已知a、b、c、d、e均为实数，且a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16，求e的最大值.

解：设f(x)=4x2+2(a+b+c+d)x+(a2+b2+c2+d2)，

因为f(x)=(x+a)2+(x+b)2+(x+c)2+(x+d)2≥0对任意实数x

总是成立的，所以判别式Δ=4(a+b+c+d)2-4×4(a2+b2+c2+d2)≤0，

从而得到Δ=4(8-e)2-16(16-e)2≤0，解得0≤e≤3．2，易见当a+b+c+d=1.2时，e的最大值是3.2.

二、构造方程解题

方程是数学中的重要组成部分，在高中数学解题中具有重要的意义.可以说，从初中数学到高中数学，方程思想始终是数学解题的重要思想，只有熟练运用方程思想，才能在各种数学问题中找到突破口.

【例2】a，b，c均为实数，证明：a，b，c均为正数的充要条件是：a+b+c>0，ab+bc+ac>0,abc>0．

分析：运用方程思想进行思考，就会发现a、b、c正好作一元三次方程的实数根，因此具备了采用构造方程来解题的基本前提.下面就直接从证明其充分性开始.

证明：

设p=a+b+c>0，q=ab+bc+ac>0，r=abc>0，则a，b，c是方程x3-px2+gx―r=0的三个实数根，由于x≤0不满足方程，所以方程的实根必为正数，故a、b、c均为正数.

利用这样的方程思想，避免了常规解题方法的繁琐环节，大大提升了学生的解题效率.

三、构造向量解题

向量问题也是高中数学的重要内容，许多学生只是单纯地把向量当做一个知识点来记忆，而忽视了它与其他知识点之间的关联，从而失去了解题的另一种可能.高中数学教师应该向学生强化向量的概念，并引导学生利用向量来解决相应的问题.

【例3】求证:a2+b2+(1-a)2+b2+a2+(1-b)2+(1-a)2+(1-b)2≥22.

分析：本题的特点是左边为几个根式之和，因此可借助向量的模来解题

证明：设z1=(a,b),z2=(1-a,b),z3=(a,1-b),z4=(1-a,1-b),

那么，左边｜z1｜+｜z2｜+｜z3｜+｜z4｜≥｜z1+z2+z3+z4｜=｜(2,2)｜=22，本题获证.

四、构造图形解题

数学是具体的，但是也是抽象的.精炼的语言，加上简单的数字符号，就构成了一道数学问题.面对这么少的信息和条件，学生只能对信息进行扩大和转换，让数学问题具体化，才能更快地破题.而构造图形，无疑是将数学问题具体化和简单化的最佳方法.高中数学教师在教学中，应该尽可能地鼓励学生通过构图法来解题.

【例4】解不等式｜｜x-5｜+｜x-3｜｜＜6.

分析：从表面上看，这类题目的一般解法是通过分区间来求解，这无可厚非，但是却显得比较麻烦，而如果能够在此构造双曲线，那求解的过程就变得较为简便.

解：设F1(-3，0)，F2(5，0)，则｜F1F2｜=8,F1F2的中点为O1(1，0).又设点P(x，0),当x满足题设不等式时，P点在双曲线(x-1)29-y27=1的两顶点之间，所以1-3

从上面的几个例子，我们可以看出，构造法在解题中的应用是十分广泛的，高中数学教师在教学中，应该注意引导学生从构造法的角度出发，思考问题.当然，从另一个角度上看，也足以证明学生在面临一个数学问题时，必须要善于转换思维，善于展开广泛联想，能够在有限的信息中找到各类知识的横向联系，进而寻找到巧妙的解题途径.这就需要教师在教学中经常对学生进行这方面的训练，帮助学生逐步提高自己的思维能力和解题能力.

参考文献

［1］冯晓华.巧用“构造法”解题［J］.云南教育(基础教育版)，2004（35）.

［2］李华君.例谈构造法解题［J］.河北理科教学研究，2003（01）.

［3］谢五长,吴水成.用构造法解三角题［J］.高中生，2004（12）.