一题多变天地宽

【内容提要】在数学教学中，培养学生创新思维能力的途径是多渠道的，有效地进行一题多变教学是培养学生创新思维能力的有效途径之一。一题多变有助于开启学生的应变力、想象力、创造力之门；一题多变以问题探究为中心，通过研究一个问题的多种解法或同一类型问题的相似解法，有助于拓展学生思维的广度和深度。

【关键词】一题多变 深挖例题 创新思维

如果将历年中考数学试卷进行仔细分析，不难发现--这些题目都是很"面熟"的。这些题目，都是在教材例题的基础上，进行变式、改编和嫁接的。考纲仍然以"教材"为本，跳不出课本这个大圈圈。所以，考生要回到课本上来，对其中重要典型的题目做变式处理训练。

同时，在"教育减负"的大背景下，改变以"量"取胜的传统课堂教法，实现用最少的时间让学生获得最大的进步与发展，是我们在教学中必须面对的一个问题。因此对课堂例题进行深加工，以"质"取胜。训练学生思维的广阔性、深刻性、灵活性和独创性，从而培养学生的思维品质，发展学生的创造性思维。

1、对解题方法进行深入挖掘和研究，做到一题多解，同一个题目从不同的角度去分析研究，培养学生思维的开阔性和灵活性。不同的解法，进而延伸解题的思维触角，培养学生的创新意识和创新思维能力。

【例1】有一道这样的题目：如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°， AB=2， BC=3，CD=1，E是AD中点． 求证：CEBE．

对于这道题目，我不是简单地就题论题，而是采用多种证法与学生探讨。

证法一：如图2，作CFAB，在RtCBF中，由勾股定理易得：CF=，又E是AD的中点，故DE=AE=，分别在RtCDE和RtBEA中，由勾股定理易得：=3，=6，在RtCBE中，由勾股定理的逆定理可得: CEB是Rt，即CEBE得证.

证法二：如图3，分别延长CE、BA交于点F，易得CDE≌FEF，则CE=FE，AF=1，又AB=2，所以BF=3，又因为BC=3，所以BC=BF（等腰CBF）。在BFC中，由三线合一定理得：CEBE．

证法三：如图4，取CB的中点F，连结EF，则EF是梯形CDAB的中位线，易得EF=2，则EF=CF=BF,则∠CEF=∠FCE, ∠FEB=∠FBE,在CEB中，由三角形内角和定理易得∠CFB=90°，即CEBE。

通过对本题多种证法的探究，不仅复习了几何当中几个重要定理的用法，而且培养了学生善于从不同角度思考问题的习惯，学生的自主意识和积极性得到了充分的发挥，收到了良好的教学效果。

2、 变换例题、习题的条件或结论，做到一题多变。多题归一，培养学生思维的严密性。有些例题的问题背景、解决的方法有类似之处，甚至有些题目就是同一题设条件，只是求证的结论的表现形式不同而已，因此进行多题一讲是很必要的。它可以使学生感觉到某些知识点的核心之处，也无非就是那几个小结论，只要将它的内涵与外延挖掘彻底，灵活运用就可以了，从而使学生学习数学更有信心，不至于被大量的习题弄得无所适从。

【例2】例如在讲到二元一次方程的概念时，有这样一道题目--xm-1+y=5是关于x、y的二元一次方程，求m。学生已经掌握了二元一次方程的概念，因此得到m-1=0，即m=1。接着，我又询问x2a+b+ya+2b=5是关于x、y的二元一次方程，求a、b。学生也可以解答，这道题目将二元一次方程和二元一次方程组相结合，深化了内涵，拓展了外延。最后，我又将这道题目改编成（m-1）+y=5是关于x、y的二元一次方程，求m的值，并求这个二元一次方程的正整数解。这样一个普普通通的定义，可以将例题进行简单的变化，一题多变，让学生更加深入地掌握这一个概念。

【例3】变换1：在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD，E是AD中点。

求证：CEBE．

变换2：在梯形ABCD中，AB∥CD，CEBE．, E是AD中点． 求证： BC=AB+CD。

变换3：在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD, CEBE．判断E是AD中点吗？为什么？

同样对上述问题，我还对该题进行了多种角度的变式讨论，开阔了学生的眼界，活跃了学生的思维。

3、一题多变，形成知识联系体。数学知识之间的联系往往不是十分明显，经常隐藏于例题或习题之中，教学中如果重视对课本例题和习题的"改装"或引申，进行必要的挖掘，即通过一个典型的例题进行拓展，最大可能的覆盖知识点，把分散的知识点串成一条线，往往会起到意想不到的效果，有利于学生知识的建构。

【例4】有这样的行程问题：小丽、小杰分别在400米的环形跑道上练习跑步与竞走，小杰每分钟跑320米，小丽每分钟走120米，两人同时从同一起点同向出发，问几分钟后小丽和小杰第一次相遇？这是一道非常典型的行程问题中的相遇。如果仅仅说道这个例题，显得比较单薄。因此，我增加了其他不同的类型：若两人同时从同一起点，背向出发，多长时间后两人相遇？接着，我又将这道题目转化成：A、B两地相距144千米，甲的速度为65千米／小时，乙的速度为55千米／小时。求（1）两人同时从AB两地相向而行，经过多少时间相遇？（2）两人同时从AB两地相向而行，经过多少时间两人第一次相距12千米？（3）两人分别从AB两地同时同向而行（甲在后），经过多少时间甲追上乙？

这样的例题改编后，行程问题的所有类型融会贯通其中，学生通过2道题目，就能轻松掌握行程问题的一般解法。

【例5】已知如图，点C、D在线段AB上，PC=PD。请你添加一个条件，使图中存在全等三角形并给予证明。所加条件为_____，你得到的一对全等三角形是：_____≌_____。

此题给出问题的结论，让学生分析探索使结论成立的应具备的条件，而且条件不唯一。这样一道开放性的题目，能全面反应出学生对三角形判定方法的掌握程度和归纳能力。

4、一题多用，培养应用意识。所谓一题多用，指的是那种尽管表面看起来形式并不一致甚至差别很大的问题，但它们的求解思路、解题步骤乃至最后结果却非常相似，甚至完全相同。如果说，一题多解是拓广思路，培养分析变通能力的有效手段，那么一题多用则是使知识系统化，提高归纳综合能力、培养应用意识的有效途径。

【例6】比如，已知一条直线上有n个点，则这条直线上共有多少条线段？

这是我们已解决的问题，易得共有条线段，运用这个数学模型，可以解决很多数学问题。

例如：（1）全班50个同学，每两人互握一次手，共需握手多少次？

（2）甲、乙两个站点之间有5个停靠站，每两个站点之间需准备一种车票，则共需准备多少种车票？

（3）如图9，共有多少个角？

以上一系列问题，都可以通过建立同一数学模型来解决，不仅培养了学生归纳整理的能力，而且深化了学生建模思想和应用数学模型的意识。

总之，在全面推进课程改革的今天，教学中教师应善于捕捉课本中典型例习题的求解信息加以研究，并进行合理再利用，进行一题多变教学，促使学生形成良好的思维习惯和品质，为培养学生的个性特征和创新思维能力创造更广阔的天地，正所谓"一题多变天地宽"。