共边三角形定理的证明及应用

定理 在公共边长是a的两个三角形中，若以公共边的同一个端点为顶点的两个角都为锐角α，且这两个角的对边都是b，在两个三角形中若公共边所对的两个角互补，则另外两边的和为2acosα，积为a2-b2.

已知：在BDC和BDA中，BD=a，BC=AB=b，∠BDC=∠BDA=α，且∠A+∠C=180°.求证：CD+AD=2acosα，CD·AD=a2-b2.

证明 （1）当∠A=90°时，结论显然成立.

（2）当∠A≠90°时：

证明1：①当A、C在BD的两侧时，如图1，

在BDC中，有余弦定理得：

CD2-2a·cosα·CD+a2-b2=0.

在BDA中，有余弦定理得：

AD2-2a·cosα·AD+a2-b2=0.

因为∠A+∠C=180°，∠A≠90°，所以∠A≠∠C，所以CD≠AD.所以CD、AD是一元二次方程x2-2acosαx+a2-b2=0的两个不相等的实数根，从而CD+AD=2acosα，CD·AD=a2-b2.

②当A、C在BD的一侧时，同理可得结论成立.

证明2：①当A、C在BD的两侧时，如图2，以B为圆心，a长为半径作B交AD于G，作BEAD于E，过D作直线DF切B于F，连结FB，则DFBF，E是AG的中点，显然DG+AD=2DE=2acosα，DG·AD=DF2=a2-b2.连接BG，因为∠BCD，∠BGD都是∠A的补角，所以∠BCD=∠BGD，所以CD=DG，从而CD+AD=2acosα，CD·AD=a2-b2.

②当A、C在BD的一侧时，同理可得结论成立.

下面举例说明它的应用.

例1 如图3，P是正方形ABCD外接圆弧AD上任一点.求证：（1）PA+PC=2PB；（2）PA·PC=PB2-AB2.

证明 如图3，连结PA、PB、PC，则在APB和BPC中∠APB=∠CPB=45°=α，公共边BP=a， AB=BC=b，∠PAB+∠PCB=180°则有上述定理得：

PA+PC=2acosα=2PB，PA·PC=a2-b2=PB2-AB2.

例2 如图4，ABC中，∠C为定角，AC为定长，过三顶点作圆，D为该圆上一点，且AD=AB，连结CD，则BC+CD为定值.

证明 在ACB和ACD中，因为AD=AB=b，所以∠ACB=∠ACD=α（定值），公共边AC=a（定长），∠ABC+∠ADC=180°，则有上述定理得：BC+CD=2acosα=2ACcosα（为定值）.

练习1：设P是等边ABC外接圆劣弧BC上一点，求证：

①PB+PC=PA；

②PB·PC=PA2-AB2.

练习2：在ABC中.D是AB上一点，且CD=BC，求证：AB·AD=AC2-BC2.

说明 这种题型也可仿照定理的两种证法，通过构造一元二次方程和构造圆来证明，进而培养学生思维的创造性.发展创造性思维，切实提高能力.

作者简介 施梅兰，女，1963年3月生，甘肃兰州人，中学高级教师.