利用草图培养学生数形结合的思想

【关键词】数学草图 数形结合 思想方法

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2015）10A-0089-02

《义务教育数学课程标准（2011年版）》将渗透数学思想方法作为一个明确的教学目标提了出来，要求教师加强教学实践，发展学生的数学思维，提高学生的数学能力。那么，在实际教学中，如何进行数学思想方法的有效渗透呢？笔者认为，教师应从小学数学的数与形的结合入手，带领学生感知数学思想方法，提升数学思维。何谓数学思想方法？它是从某些具体的数学认识过程中提炼出的一些观点，揭示了数学发展中普遍的规律，也是人们对数学理论与内容的本质认识，直接支配着数学的实践活动，这是对数学规律的理性认识。而数学方法，则是解决数学问题的方法，即解决数学具体问题时所采用的方式、途径和手段，也可以说是解决数学问题的策略。对于小学数学教学来说，数学思想是宏观的，它具有普遍的指导意义，而数学方法是微观的，它是解决数学问题的直接、具体的手段。一般来说，前者给出了解决问题的方向，后者给出了解决问题的方法。但由于小学数学内容比较简单，所以隐藏的思想和方法很难截然分开，更多反映在联系方面，其本质往往是一致的。如常用的分类思想和分类方法，集合思想和交集方法，在本质上都是相通的，所以小学数学通常把数学思想和方法看成一个整体概念，即小学数学思想方法。

在小学数学教学中，数和形是数学研究的两个主要对象，数离不开形，形离不开数，一方面抽象的数学概念、复杂的数量关系，借助图形使之直观化、形象化、简单化；另一方面复杂的形体可以用简单的数量关系表示，让学生很容易就找到解决问题的办法，尤其是在解答应用题时，教师可以引导学生借助线段图帮助学生分析数量关系，并建立问题链接，分析解决问题的路径，让学生深刻理解并借助数学思想解决数学问题。

下面笔者就在教学中如何培养学生利用画草图，训练学生数形结合的数学思想方法谈一些做法。

一、利用草图数形结合，学会思考问题

根据小学教材的编排体系不难看出，数和形是数学研究的两个主要对象，教材中的数是通过形来展现的，由此帮助学生建立直观形象的概念，理解抽象的数学概念和复杂的数量关系，借助图形使之直观化、形象化、简单化；同时，能够让学生借助简单的图形，将复杂的问题直观呈现，以此采用简单的数量关系图，梳理问题中的解决路径。数形结合的思想方法的本质，就是让学生将数（量）与（图）形结合起来进行分析、研究，最终找到解决问题的办法的一种思维策略。教学时，教师可以引导学生在解应用题中，借助线段图的直观帮助分析数量关系。

学生在高年级时通常会遇到一些较复杂的题目，如“在200米的路的一旁，每隔5米栽一棵树（两端都栽），一共需要栽多少棵树？”教学时，教师可组织学生思考：“我们可以先利用画图的方法找找路和树之间有什么关系？可以动手画一画，想一想，等理清楚了路和树之间的关系，你就找到了解决这道题的办法。”

学生在动手画图后很容易找出路和树之间的关系：

经过观察和比较，学生发现图二、图三不属于两端都栽，而图一中树的棵数比路分成的段数多1，再把路分成三段、四段……

学生从上面的图中可以归纳出：两端都栽，树的棵数=路的段数+1。再让学生利用同样的方法寻找图二、图三中的规律。学生会借助图形的帮助很快得出：两端都不栽，树的棵数=路的段数-1；一端栽一端不栽，树的棵数=路的段数。

这样，学生理清了路和树之间的关系，他们很快列出算式200÷5+1=41（棵）。

以上教学，教师从直观的画图入手，让学生看到数量关系的变化，并从中感受到“两端都栽、两端都不栽、一端栽”三种形式，从而理清了三种情况下的解决问题路径，建立了数形结合的思维意识。

二、利用草图数形结合，学会转换数量关系

数量关系的转换是小学数学教学的一个难点。学生受到惯性思维模式的影响，容易迷失方向，在解题时不知道该怎么解。例如，教学分数乘除法应用题时，学生常常找不到单位“1”，不知道何时该用乘法，何时该用除法。有基于此，笔者将草图作为一个重要的教学策略，引导学生利用线段图进行有效分析，让学生能够自主画出线段图，使其直观地呈现出数量与分率之间的关系，特别体现在一些需要转换单位“1”的题目中。

例如，“兄弟四人合作修一条路，结果老大修了另外三兄弟总数的一半，老二修了另外三兄弟总数的，老三修了另外三兄弟总数的，老四修了91米，问这条路长多少米？”学生一开始不知道如何梳理三者的关系，对另外三个人的关系的理解存在误区。为此，笔者带领学生展开探究：请你画出一幅线段图，展示老大和另三人的份数。学生由此通过画图展示老大是另三人的一半，通过画图呈现：（如图）

通过这样直观呈现，将数与形有机地结合在一起，学生能直观发现：老大占总数的，也就是总数的。基于这样的引导，学生继续按照同样的思路画图，马上能找出老二占总数的，老三占总数的，再次通过画图呈现出总数与部分之间的关系，即91米对应的分率是1---，很快问题就解决了。

三、利用草图数形结合，培养学生空间想象力

新课标将空间能力的培养列为重点内容，要求教师进行直观引导，帮助学生建构空间概念，发展空间想象力。在实际教学中，笔者发现，通过利用草图，能够将一些较为复杂的立体图形进行分解，有助于培养学生的空间想象力，帮助学生解决一些复杂的数学图形题。例如：

这道题的难点，是要有一个立体的空间感受，然后分析问题，找到解决问题的办法。因而，在思考这道题时，教师要引导学生从几个方面探究，将其分成前、后、上、下、左、右六个方向展开观察，并将观察到的图形画出来，找到相应的条件，就能算出这个颁奖台涂红油漆和黄油漆的面积分别是多少了。学生一边画图一边思考：涂红油漆的是哪一面？从上面计算是多少？如果从左面是多少呢？右面呢？学生从上面观察：发现上面是由三个正方形组成的长方形，画出来，得到一个平面图形，由此可以得到面积为40×40×3=4800（平方厘米）。

学生再从左面、右面分别观察，发现左面和右面是两个一样的个长方形，画出来，得到一个平面图形，通过平面图可以得到面积为65×40×2=5200（平方厘米）。

根据以上观察到的图形，学生很快得到计算结果：涂红油漆的面积为4800+5200=10000（平方厘米）。涂黄油漆的是前面和后面。从前面和后面观察：前面和后面都是由三个长方形组成，画出来，得到一个平面图形（如下图）。

面积为[（65-10）×40+65×40+40×40]×2=12800（平方厘米）。就这样，这个复杂的数学习题，通过画图，学生有条不紊地展开直观分析，有效地解决了问题。

总之，在小学数学教学中，教师通过引导，带领学生利用画草图解决数学问题，这样就可以培养学生的数感，建构解决问题的策略，帮助学生思考，同时也有助于培养学生良好的思维习惯。

（责编 林 剑）