善加辅助巧解问题

添加辅助线是数学解析几何、立体几何中常用的方法，有时看似非常复杂的数学问题，一旦添加了一条正确的辅助线，便能使问题迎刃而解.添加辅助线的思想在有些物理问题的处理过程起着非常关键的作用.下面以例进行探讨.

1添加辅助圆，建立速度之间的联系

在万有引力有关问题的处理过程中，往往通过添加辅助圆，建立速度之间的联系.

案例1如图1所示，曲线Ⅰ是一颗绕地球做圆周运动卫星轨道的示意图，其半径为R，曲线Ⅱ是一颗绕地球做椭圆运动卫星轨道的示意图，O点为地球球心，AB为椭圆的长轴，两轨道和地心都在同一平面内，地球质量为M，卫星在Ⅰ轨道的速率为v0，卫星在Ⅱ轨道B点的速率为vB，试比较v0和vB的大小关系.

v0为卫星在圆形轨道Ⅰ上的运行速率，vB为卫星在轨道Ⅱ上B点的速率，由于轨道Ⅱ为椭圆轨道，故vB不能用公式v=GMR进行计算.那么，如何比较v0、vB的大小关系呢？我们可以添加一个辅助圆，如图2所示.在辅助圆上的运行速率为vB'，则vB′>vB，卫星在轨道Ⅰ的速率为v0，根据v=GMR，则v0>vB′，故v0>vB.

2添加辅助圆，外推规律结论

案例2如图3所示，AB是一个倾角为θ的输送带，P处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在P与AB输送带间建立一管道（假设其光滑），使原料从P处以最短的时间到达输送带上，求管道与竖直方向的夹角

根据“等时圆”理论，可以过P点的竖直线为圆的直径作圆，逐步扩大圆的直径，直至某圆与输送带AB相切，如图4所示，C为切点，O为圆心.显然，沿着PC弦建立管道，原料从P处到达C点处的时间与沿其他弦到达“等时圆”的圆周上所用时间相等.因而，要使原料从P处到达输送带上所用时间最短，需沿着PC弦建立管道.由几何关系可得：PC与竖直方向间的夹角等于θ/2.

在此问题的处理过程中，通过添加了辅助圆，外推了“等时圆”中相关的运动规律，从而使问题得以解决.

3添加辅助弧线，构建规律满足条件

案例3如图5所示，美联社3月19日报道称，朝鲜政府外宣网站18日了一段“袭击华盛顿”的视频，模拟朝鲜导弹击中美国白宫和国会大厦的情形.如图6所示，从地面上A点发射一枚远程弹道导弹，假设导弹仅在地球引力作用下，沿ACB椭圆轨道飞行击中地面目标B， C为轨道的远地点，距地面高度为h，若ACB轨迹长恰好为整个椭圆的一半.设距地面高度为h的圆轨道上，导弹运动周期为T0，不计空气阻力.已知地球半径为R，地球质量为M.则下列结论正确的是

A.导弹在C点的速度大于GM（R+h）

B.地球的球心位于导弹椭圆轨道的一个焦点上

C.导弹在C点的加速度等于GMR+h

D.导弹从A点到B点的飞行时间一定等于T02

导弹仅在地球引力作用下，沿ACB椭圆轨道飞行击中地面目标.ACD只是椭圆的其中一部分，我们可以添上一部分弧线，

使之成为一个完整的椭圆，根据开普勒第三定律，则球的球心位于导弹椭圆轨道的一个焦点上.由于距地面高度为h的圆轨道上导弹运动的轨道半径大于椭圆的半长轴，故导弹从A点到B点的飞行时间一定小于T02，即正解为B.我们在添加了一段弧线后成为椭圆，满足了开普勒第三定律使用的条件，从而使问题得解.

4添加直线，创设等时条件

案例4如图8所示，斜面上a、b、c三点等距，小球从a点正上方O点抛出，做初速为v0的平抛运动，恰落在b点.若小球初速变为v，其落点位于c，则

A.v0

C.2v0

小球在空中做平抛运动，其初速度与平抛运动的高度有关，而高度受到斜面的制约.如图9所示，过b点做一条水平线ABC， 交Oa的延长线于A点，交Oc的轨迹于C点.由于lab=lbc，故lAB=lBC.小球做平抛运动落在水平线ABC上，运动时间都相等.当小球初速度变为v时，小球运动轨迹交ABC于B、C两点之间，故v0

案例5小船横渡一条河，船相对水的的速度大小方向都不变.已知小船的运动轨迹如图10所示，试讨论河水流速的变化情况.

由于小船在渡河过程中，船相对水的速度大小方向都不变，故从A岸开始，做一些相互平行、等距的直线，如图11所示，任何两条相邻的直线之间的时间相等，在这些相等的时间内，小船沿着水流方向通过的距离越来越小，故越接近B岸水速越小.物体同时参与了两个或两个以上的运动，我们可以画辅助的直线，在某个分运动上获取相等的时间，进而讨论另一个分运动或合运动的运动情况.

5添加辅助直线，建构对称

案例6如图12所示，a、b两小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度同时水平抛出，已知半圆轨道的半径与斜面的竖直高度相等，斜面底边长是其竖直高度的2倍.若小球a能落到半圆轨道上，小球b能落到斜面上，则

A.b球一定先落在斜面上

B.a球一定先落在半圆轨道上

C.a球可能先落在半圆轨道上

D.a、b不可能同时落在半圆轨道和斜面上

在判断哪个球先落到斜面或半圆轨道上时，过A点做切线AB，做直线BD，连接抛出点O与点B，直线OB与圆弧相交于C点，则OBD与斜面关于OD对称.在OB线的两边分别做两直线OB′、OB″与圆弧分别交于B′点和B″点.根据小球运动初速度大小的不同，若小球落在C点，则a、b同时落在半圆轨道和斜面上；若小球落在C′点，则可以认为小球已经到达斜面OC′上，故尚未达到OB.若小球落在C″，则小球b已经落在了斜面上，故此题正解为C.

6添加辅助参量，比较两者大小

案例7为了研究区域相同的电场与磁场对带电粒子的影响，有人设计了甲、乙两个半径相同的半圆形区域，其内部分别是匀强磁场和匀强电场，如图14所示.相同带电粒子以相同的速度垂直于半圆形区域的直径，从圆心O射入两个区域.设粒子垂直于各自的场强方向，不计粒子重力，则比较粒子经过两个区域的过程中，时间t甲与t乙的大小关系.

如图15所示，带电粒子在匀强磁场做匀速圆周运动，其轨迹随v0的不同而不同，故在出磁场时，与半圆形区域有不同的交点；粒子在电场中做类平抛运动，其轨迹随v0的不同而不同，故在出电场时，与半圆形区域有不同的交点.总体而言，运动情况比较复杂.在图甲中，当粒子在磁场中运动做匀速圆周运动时，由于粒子运动的路径总是大于半径R，故粒子在磁场中运动的时间t甲>Rv0.当粒子在电场中类平抛运动时，在水平方向通过的距离总是小于R，故t乙

在此题两个时间的比较中，我们引入了添加一个辅助的参考量，即Rv0.通过两时间与此参考量的比较，确定了两时间的大小关系，辅助参量在整个问题的处理过程中起着关键性的作用.

辅助直线、弧线以及辅助参量的添加具有一定的技巧性，一般不容易想到，但这在有些问题的处理过程中，的确是一种有效的方法.同时也说明，数学与物理的紧密联系，物理问题的处理过程中需要用到数学上的思想与方法.