对称性在初等数学中的应用

【中图分类号】G633.6

对称性是指某一事物对象的两个部分的对称的，其定义用集合语言刻画如下：设定一个集合M，在其内考虑元素间的某些关系，并设P是M的一个子集，对于M的一个可容许变换A，称集合P是对称的或不变的，若变换A把集合P中的每一点仍变为P的点。有关数与形的对称在积分学中极为常见，许多问题初看起来似乎难以解决，不易下手，但一旦恰当地利用了某种对称性，这个复杂的计算问题普得异常简单。

1对称性在几何方面的应用

例1 已知二次函数，满足条件其图像的顶点为A，又图象与x轴交于B.C两点，其中B点坐标为（-1，0）

的面积为18，试确定此二次函数。

解：由f（2+x）=f（2-x）知，y=f（x）的图像关于直线x=2对称，又因为B（-1，0），所以C（5，0），设，则故可设

又因B（-1，0）在y=f（x）的图象上，所以所以，故所求二次函数为

注：此题的关键是挖掘直线x=2是y=f（x）的图象的对称轴的隐含条件，在此可以体会到对称性的重要作用。

2对称性在代数方面的应用

例1 求证，其中a，b，c互不相等。

解：此题可以通过对公式的左端进行大量的代数运算而得到与右端相等的化简式，从而得到等式成立，但由于所要证的等式的左端极其复杂而使运算量非常大且很容易出错，仔细分析左端代数式知a，b，c是对称的，且分别用a，b，c代替x均能使要证明的等式成立，又左右两端关于x都是次数不超过2的多项式，于是可把互不相等的a，b，c看成是关于x的元二次方程的三根，而一元二次方程最多有两个不同的根，因此所要证的等式是恒等式，即要证的等式成立。

例2 已知是方程的根，不解方程.求的值。

分析：不解方程，要求出与其根有关的式子的值，通常是把要求式变成两根相加或相乘的形式，再利用韦达定理来求出其值，但我们把要求式A进行一些算术运算知道分母不可能化成两根相乘或相加的形式用韦达定理来计算，因而此路不通。然而均为方程的根

且它们是对等的，故有对称性，于是可以A的对称式，这样也许能够用韦达定理算出A的值。

解：作的对称式，则

所以：

注：在计算时容易出现只取正负号而遗漏负号从而得到A的一个值

，其实在此只要注意到A，B是对称的，知A能取的值B也能取，同样B能取的值A也能取，从而知A还有另一个值；又方程的判别式知，而题设中没有规定的大小关系，故可以互换位置，A有两个值，这样我们可以减少或避免漏解的情况，从而使解题过程更完整正确。

3 对称性在三角中的应用

例1 已知均为锐角，且，求函数的最大值。

分析：求三角函数的最值，通常是化为一个三角函数，利用正.余弦的有界性求出其最值，但题目中的函数是四个正弦之积，不易化成一个三角函数，由于是4个正弦之积，不妨试差用平均不等式，但平均不等式的等号成立的充要条件是各因式相等，那么此4个因式能否相等呢？由于是对称的，故也具有对称性，它们能够相等，也就能够利用平均不等式。

解：，当且仅当

即时取等号，于是，所以的最大值1/4。

对称性在数学中的应用相当广泛，不论是在初等数学，还是在高等数学中都有广泛的应用，在初等数学中的几何，代数，三角；在高等数学中的定积分，曲线积分，曲面积分，多元积分中对称性使问题变的相当简单，所以我们要掌握好对称性在数学中的相关定理，定义。