应变能密度的积分方法研究

摘 要：建立应变能密度积分公式，以弹性力学的物理方程为基础，研究在弹性体中应变能和应变与应力之前的关系。主要通过广义格林公式下的积分和全微分形式下的积分。在这两种方式的求解下，都证明了应变能密度和应变与应力的关系是一致的。

关键词：弹性体；应变能密度；应变

1 引言

在普遍的弹性力学的教材中[1]，都只给出了

这个公式，而没有直接对应变能密度的积分给出详细的求解过程。这就使得读者产生疑惑，当应力展开成与弹性模量的关系式代入积分方程中，就出现了问题。

在 中，我们在利用张量公式的展开：当 ？着kl的下标k，l的取值和deij的下标i，j的下标取值相同：k=m=i；l=n=j；我们可以直接积分得出 （注：此公式不带哑标，且？着mn=？着nm），当k取值不等与i和j，或者l取值不等于i和j时，那么？着kl是不是就与？着ij没有关系，而可以直接把eij积出来。例如

。对于？着ij与？着kl取值不相同的部分，直接积分得出的结果不是■倍的关系而是1倍的关系。这就与应变能密度的公式矛盾，显然是我们把积分简单化了，因此我们要改变积分方式，由于弹性力学里的物理方程是肯定成立，所以我们从积分路径考虑。

2 线弹性应变

对图1所示积分，从面积就知道 成立。但是对非线弹性应变时，面积不是那么轻易算出，所以我们必须从积分本身出发。

3 非线弹性应变

图1 图2

对应变能密度 进行证明，其中？滓ij=Cijkl？着kl，？滓ij为应力，？着ij为应变， Cijkl为弹性模量。

4 数学求解

首先对Cijkl进行简化，通过？滓ij=Cijkl？着kl，对于各向异性弹性体应力张量的对称性？滓ij=？滓ji，于是Cijkl=Cjikl，再由应变张量的对称性？着kl=？着lk，得出Cijkl=Cijlk，于是把原来81个分量降为36个分量，整理成：

（1）

对U（？着）求二阶偏导得出：

（2）

又因为

将 代入可得出 此式就称之为广义格林公式[2]

所以有

（3）

对U（？着）展开的

（4）

再将（1）式代入（4）式得

对此式整理

（5）

我们取其中任意几组研究：

其中■x和■y是终止状态的弹性应变，在求解

时，由（3）式得到C12=C21，所以由格林公式可知此积分与路径无关。不妨设？着y=k？着x，

对其他部分采用同样的方法，整理得

（6）

再把（6）式比照（1）式进行整理得到（4）式，因此得应变能密度公式得证 。

如果从全微分形式 出发，因为原函数U（？着）的存在，可以利用牛顿-莱布尼茨公式同样可以得到结果： 。

这说明积分与路径无关，所以 即

广义格林公式 是成立的。这就从正反两面证明了广义格林公式，从而说明积分与路径无关。

5 结束语

对于多元函数的积分应同时联系实际的物理背景，不能简单的从一方面考虑，否则就会出现差错或使问题复杂化，此题也可以从功的方面考虑。高等数学中在曲线积分中提到了格林公式，这里需要用到广义格林公式。这两种解法都是为了寻找应变能密度求解中积分与路径无关这条件。

参考文献

[1]陆明万，罗学富.弹性理论基础[M].北京：清华大学出版社，1990.

[2]徐芝纶.弹性力学简明教程[M].北京：高等教育出版社，2002.8.