基于Backstepping的移动机器人轨迹跟踪控制

摘 要：对于由运动学模型描述的二自由度轮式移动机器人的轨迹跟踪问题进行讨论。采用积分Backstepping思想，通过构造一种简单的中间虚拟反馈变量同时结合Lyapunov直接法设计出时变反馈控制律，并且证明其控制效果能够达到全局渐近稳定。仿真结果验证了该控制律的正确性和有效性。

关键词：轮式移动机器人;轨迹跟踪;Backstepping;Lyapunov函数;全局稳定

中图分类号：TP24文献标识码：B

文章编号：1004-373X(2008)24-113-03

Trajectory Tracking Control of Mobile Robots Based on Backstepping

WANG Chuan1,2，WU Huaiyu1,2，WANG Fen1,2,3 ，CHENG Lei1,2

(1.Engineering Research Center of Metallurgical Automation and Measurement Technology,Ministry of Education,Wuhan,430081,China;

2.College of Information Science and Engineering,Wuhan University of Science and Technology,Wuhan,430081,China;

3.College of Science,Wuhan University of Science and Technology,Wuhan,430081,China)

Abstract：The trajectory tracking control problem of the kinematic model of a two-degree-of-freedom wheeled mobile robot is discussed.Using the idea of integral Backstepping,a simple virtual feedback variable is proposed and a global asymptotically stable control law is designed via Lyapunov direct method.A simulation verifies the correctness and effectiveness of the control law.

Keywords：wheeled mobile robot;trajectory tracking;Backstepping;Lyapunov function;global stability

1 引 言

通过差动驱动(Differential Drive)的轮式移动机器人属于典型的非完整系统［1］，近年来依据非完整系统运动学模型和动力学模型［2］来对它进行有效的反馈控制一直是研究的热点。由于移动机器人并不满足Brockett光滑反馈镇定必要条件［3］，这使得它的轨迹跟踪系统比一般的非线性系统更难控制。文献［4］针对移动机器人运动学误差模型采用泰勒线性化的思想完成了轨迹跟踪反馈镇定控制器的设计，这种方法只能得到局部的稳定性。文献［5-7］利用积分Backstepping思想结合Lyapunov直接法设计了轨迹跟踪控制器，并且对满足特定条件轨迹的跟踪可以达到全局稳定。

根据二自由度轮式移动机器人的运动学模型，在文献［7］的基础上利用积分Backstepping设计思想构造出更加简单的虚拟反馈变量，同时结合Lyapunov直接法设计出时变反馈控制律，并证明其控制效果能够达到全局渐近稳定。仿真结果表明机器人在控制律的作用下，能够迅速且有效地跟踪期望轨迹。

2 轨迹跟踪问题

研究的移动机器人拥有2个同轴的分别由独立电机进行驱动的前轮，前轮为固定标准轮(Fixed Standard Wheel)，后轮为一个起支撑作用的全向小脚轮(Conventional Off-centered Orientable Wheel)，由文献［8］可知小脚轮并不影响机器人的运动学模型。这种机器人的活动性程度(Degree of Mobility)δm=2，可操作度(Degree of Steerability)δs=0，机动程度(Degree of Maneuverability)δM=δm+δs=2，即可操纵的总自由度为2，它受到如下非完整约束：

sin θ－cos θ=0(1)

如图1所示，机器人在二维全局坐标系(XIOIYI)下的位姿用它的3个空间定位自由度组成的广义坐标向量p=（x，y，θ）T来表示，同时参考位姿表示为pr=(xr,yr,θr)T，其中θ以逆时针方向为正。

机器人的运动状态由它的线速度v及角速度ω决定，表示为向量形式q=(v,ω)T，同时参考速度表示为qr=(vr,ωr)T。机器人的运动学模型为［4］：

==Jq=cos θ0

sin θ0

01q(2)

其中J为雅可比矩阵。定义机器人局部坐标系(XRORYR)下的位姿误差为pe=(xe,ye,θe)T，则位姿误差方程为：

pe=xe

ye

θe=cos θsin θ0

－sin θcos θ0

001(pr－p)

=Tθ(pr－p)(3)

图1 机器人运动示意图

其中Tθ为正交旋转矩阵，对式(3)求时间导数并化简得到如下微分方程：

e=e

e

e=ωye－v+vrcos θe

－ωxe+vrsin θe

ωr－ω(4)

根据上述运动学方程，移动机器人轨迹跟踪的问题转化为设计输入控制量q=(v,ω)T，使得它和式(4)组成的闭环系统位姿误差全局一致有界，并且当t∞，vr和ωr不同时收敛于零时，系统在任意初始跟踪误差下有limt∞［|xe(t)|+|ye(t)|+|θe(t)|］=0。

3 控制律设计

机器人轨迹跟踪控制系统结构图如图2所示。

图2 轨迹跟踪控制系统结构框图

设计全局跟踪控制律时引入积分Backstepping思想，在式(3)中，针对误差分量xe，构造虚拟反馈变量：

e=xe－k1sin(arctan(ω))ye(5)

其中k1为大于零的常数，显然当ω=0时，k1sin(arctan(ω))ye=0，且k1sin(arctan(ω))关于ω的一阶导数有界。由式(4)中e分量的方程可知，如果控制作用使得误差分量limt∞ xe=k1sin(arctan(ω))ye，并且limt∞θe=0，那么limt∞e=－k1ωsin(arctan(ω))ye。同时对部分Lyapunov函数Vy=12y2e求时间导数，得y=yee，又因为ωsin(arctan(ω))≥0，当且仅当ω=0时等号成立。所以根据Barbalat引理［9］得到，当t∞时，ye收敛于零，由此可以看出误差分量ye是间接受控量。综上所述，设计控制律的实质就是寻求输入控制量q=(v,ω)T使得limt∞xe=k1sin(arctan(ω))ye，limt∞θe=0。按照上述思路构造Lyapunov纯量函数：

V=122e+12y2e+2k3(1－cos(θe2))(6)

其中k3为大于零的常数。考虑到θe为实际角度误差，即可以忽略角度的周期性，定义θe∈［0,2π)。很明显，函数V≥0，当且仅当(e,ye,θe)T=0时，V=0。

将虚拟反馈变量e的方程(5)转化为：

x・-e=e－k1cos(arctan(ω))11+ω2ye－

k1sin(arctan(ω))e(7)

将Lyapunov函数对时间求导数，并确定闭环系统的控制律：

=ex・-e+yee+1k3sin(θe2)e

=ee－k1cos(arctan(ω))11+ω2ye－k1・sin(arctan(ω))e〗+ye(－ωxe+vrsin θe)+1k3sin(θe2)(ωr－ω)

=e11+ω2ye－k1sin(arctan(ω))e〗+

yee+k1sin（arctan ω） ye)+vrsin θe〗+1k3sin(θe2)(ωr－ω)

=e11+ω2ye－k1sin(arctan(ω))(－ωxe+vrsin θe)〗－

k1y2eωsin(arctan(ω))+1k3sin(θe2)θe2)〗(8)

设t∈［0,+∞),vr,ωr,r,r有界且vr,ωr不同时收敛于零，取系统的控制律为：

v=vrcos θe+k1sin11+ω2ye+

k2

ω=ωr+2k3yevrcos(θe2)+k4sin(θe2)

(9)

其中k2,k4为大于零的常数，且有如下方程：

=r+2k3(evr+yer)cos(θe2)－

k3vryesin(θe2)e+12k4cos(θe2)e(10)

e=－θe2)+k4sin(θe2)〗xe+vrsin θe(11)

e=－2k3yevrcos(θe2)－k4sin(θe2)(12)

将控制律式(9)代入式(8)并整理得：

=－k22e－k1y2eωsin(arctan(ω))－k4k3sin2(θe2)(13)

因为t∈［0,+∞),vr,ωr,r,r有界，所以t∈［0,+∞),xe,ye,θe一致有界［5］。由于k1,k2,k3,k4均为大于零的常数，并且ωsin(arctan(ω))≥0，所以≤0。可以看到V为正定连续可微函数且有界，为半负定一致连续函数，那么根据Barbalat引理［9］可知，t∞时，0，从而得到2e,y2eωsin(arctan(ω)),sin2(θe/2)分别收敛于零。进一步，由limt∞ 2e=0得到limt∞ xe=k1sin(arctan(ω))ye。由t∞时，vr,ωr不同时收敛于零推得ω不收敛于零，结合limt∞ y2eωsin(arctan(ω))=0可知，limt∞ ye=0，同时有limt∞ xe=k1sin(arctan(ω))ye，所以limt∞xe=0。因为limt∞sin2(θe/2)=0，所以可以得到limt∞ θe=0。综合上面的分析可以得出结论，闭环系统位姿误差全局一致有界，且有limt∞［|xe(t)|+|ye(t)|+|θe(t)|］=0。

4 仿真实验

在Matlab环境下通过控制机器人对直线轨迹和圆周轨迹的跟踪验证上述控制算法的有效性。控制律式(9)中的参数k1,k2,k3,k4为指数衰减时间常数相关的正常数，它们共同作用决定机器人跟踪轨迹收敛的速度与稳定性。其中k1,k2用来调节xe，k3,k4用来调节ye及θe。

4.1 跟踪直线

给定直线期望轨迹的参考输入为vr=0.2 m/s,ωr=0，在全局坐标系下的初始位姿为xr(0)=1 m,yr(0)=0,θr(0)=π/3rad。同时移动机器人在全局坐标系下的初始位姿为x(0)=1.2 m,y(0)=－2 m,θ(0)=π/2rad。取控制参数的值k1=k2=3,k3=10,k4=3。直线跟踪效果如图3所示。

图3 直线轨迹跟踪

4.2 跟踪圆周

给定圆周期望轨迹的参考输入为vr=0.2 m/s,ωr=0.2 rad/s，在全局坐标系下的初始位姿为xr(0)=1 m,yr(0)=0,θr(0)=π/2 rad。同时移动机器人在全局坐标系下的初始位姿为x(0)=1.2 m,y(0)=－0.3 m,θ(0)=2π/3rad。取控制参数的值k1=k2=1.5,k3=25,k4=5.2。圆周跟踪效果如图4所示。

图4 圆周轨迹跟踪

从图3和图4的仿真结果可以看出，在本文设计的控制器作用下，机器人实际行走的轨迹迅速而且平滑地收敛于期望轨迹。

5 结 语

本文讨论了受非完整约束轮式移动机器人的轨迹跟踪问题，并且利用积分Backstepping设计方法构造出全局轨迹跟踪控制器。此控制器算法简单，计算量小，可以方便地以程序的形式移植到机器人上位机的Windows系统平台或者Linux系统平台上，而且不用担心执行程序的实时性问题。对不同轨迹跟踪的仿真结果验证了控制器的有效性。

参考文献

［1］胡跃明，周其节，裴海龙.非完整控制系统的理论与应用［J］.控制理论与应用，1996，13(1)：1-10.

［2］Kolmanovsky H,McClamroch N H.Developments in Nonholonomic Control Systems ［J］.IEEE Control Systems Magazine,1995,15(6):20-36.

［3］Brockett R W.Asymptotic Stability and Feedback Stabilization［M］.Differential Geometric Control Theory,Boston:Birkhauser,1983.

［4］Kanayama Y,Kimura Y,Miyazaki F,et al.A Stable Tracking Control Method for an Autonomous Mobile Robot ［A］.Proceedings of IEEE Conference on Robotics and Automation ［C］.Cincinnati:IEEE Computer Society Press,1990:384-389.

［5］Jiang Z P,Nijmeijer H.Tracking Control ofMobile Robots:A Case Study in Backstepping ［J］.Automatica,1997,33(7):1 393-1 399.

［6］吴卫国，陈辉堂，王月娟.移动机器人的全局轨迹跟踪控制［J］.自动化学报，2001，27(3)：326-331.

［7］徐俊艳，张培仁.非完整轮式移动机器人轨迹跟踪控制研究［J］.中国科学技术大学学报，2004，34(3)：376-380.

［8］Campion G,Bastin G,D′Andrea-Novel B.Structural Properties and Classification of Kinematic and Dynamic Models of Wheeled Mobile Robots ［J］.IEEE Transactions on Robotics and Automation,1996,12(1):47-62.

［9］闵颖颖，刘允刚.Barbalat引理及其在系统稳定性分析中的应用［J］.山东大学学报，2007，37(1)：51-55.

［10］王莉，王庆林.Backstepping设计方法及应用［J］.自动化博览，2004，21(6)：57-61.

［11］Siegwart R,Nourbakhsh I R.Introduction to Autonomous Mobile Robots ［M］.Cambridge,Massachusetts,USA:The MIT Press,2004.

作者简介 王 川 男，1984年出生，硕士研究生。主要研究方向为微光机电系统集成与控制，机器人运动控制。

吴怀宇 男，1961年出生，博士，教授，博导。主要研究方向为智能控制，微光机电系统集成与控制。

王 芬 女，1980年出生，博士研究生，助教。主要研究方向为智能控制。

程 磊 男，1976年出生，博士，讲师。主要研究方向为多机器人协作。

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文