稀疏表示理论在提高数字图像质量中的应用

摘 要：稀疏表示理论是一种新兴的信号表示模型，广泛应用于各种信号和图像处理任务中。介绍了稀疏表示模型及其在提高图像质量中的应用，并指出了该理论在图像处理中急需解决的问题。

关键词：稀疏表示 图像质量 几何结构

中图分类号：TP3 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2012）12（c）-00-01

1993年Mallat和Zhang提出了信号的稀疏表示，在信号逼近上取得了出色的表现，迅速引起了广大学者的普遍关注，信号稀疏表示研究很快被从一维信号推广到二维信号图像的研究上。

稀疏表示的模型可以表示为：

式中为向量的l0范数，表示向量x中非零元素的个数，x即为信号y的稀疏表示。

在数字图像处理中，由于图像的数据信息具有冗余性，为冗余字典，因此可以在冗余字典上进行稀疏表示，y则为图像子块的列向量表示。如何构造表达能力强、训练简单的冗余字典是图像处理中的关键一步，自稀疏表示理论的提出，在图像去噪、去模糊、超分辨率、图像修复等方面得到了广泛的应用，取得了比传统方法更好的处理结果。

1 稀疏表示理论在提高数字图像质量中的应用

Michael Elad是较早将稀疏表示理论应用于图像去噪与超分辨率的代表人物[1]，他将K均值聚类方法引入字典训练过程中。在K均值算法中，求解一个包括K个代码的码本，使得在此码本上，根据最邻近分配法则，对包含N个信号的集合进行分类，得到最佳分类。在稀疏表示中，稀疏表示的过程可以看做广义矢量量化过程，其中的每个信号用多个代码的线性组合表示。当要求K-SVD中的每个信号只能用一个原子来近似时，K-SVD算法就退化为K均值算法。K-SVD在稀疏编码与字典更新之间交替迭代，保证总误差单调下降，因此可保证能收敛到局部（或全局）最小值，从而得到性能优良的过完备字典。K-SVD训练字典方法广泛的应用在图像复原问题上。基于K-SVD训练得到的过完备字典，取得了较好的图像去噪与超分辨率结果。

统计学中的主成分分析（PCA）的概念，也被引入到字典训练当中。在统计学当中，变量个数太多会增加问题的复杂性主成分分析作为一种统计分析方法，它可以从多元事物中解析出主要影响因素，简化复杂问题。PCA的核心思想，就是将高维数据投影到低维空间。寻找 r 个新变量，使其反映事物的主要特征，每个新变量是原有变量的线性组合，体现原有变量的综合效果，则这 r 个新变量称之为“主成分”，它们两两正交不相关。这 r 个主成分可以在很大程度上反映原来变量的信息。Hui Zou引入了SPCA（Sparse PCA）的概念，他修改了传统的PCA方法，利用主成分负载的稀疏性，使算法变得更加易懂，且得到更为稀疏的结果。

形态学成分分析（MCA）作为一种新兴的信号分解方法，吸引了很多人的注意。MCA根据图像信号组成成分的形态差异性，将图像内容分割为纹理区域和卡通区域。不同区域其拟合字典类型不同。小波变换可以很好的表示图像光滑区域的特征，curvelet变换通过带方向的局部傅里叶基，可以有效的处理边缘特征。离散余弦变换（DCT）以及Gabor变换是纹理区经常采用的两种处理方式。MCA充分的考虑了图像的结构组成部分以及内部特征，广泛用于盲源分离、图像分解、图像修补等。

Julien Mairal将自然图像的自相似性引入到图像恢复模型中。图像的自相似性，其根本是自然图像的统计特征。Julien Mairal非局部模型与稀疏编码结合成一个框架，将噪声在相似块之间进行平均，取得了较好的去噪、去马赛克结果。同样，自相似性在图像去模糊、图像修补方面也展示了其良好的性能。

Weisheng Dong提出了一种新的图像复原模型CSR，利用减小退化图像分解系数与原图分解系数之间的差异来达到复原图像的目的，其本质是自相似性的应用。在超分辨率方面，他提出了自适应稀疏域选择超分辨率算法，认为超分辨率重建结果的优劣很大部分取决于稀疏域的选择，对输入的样本先采用K-均值聚类，采用PCA算法进行词典训练，将非局部相似性（NL）和图像去噪中的自回归（AR）模型与超分辨率重建模型有效结合，提高了超分辨率重建质量。

Nebojsa创造性的提出了图像摘要的概念。他将图像的特征提取为一幅摘要图，在图像处理过程中，对该摘要图进行分解处理，这是合理并且有效的。Louise 利用该思想，在图像去噪方面取得了较好的去噪结果。

Kostadin在变换域，通过一组协作滤波器，将一幅图像中结构相似的二位块聚合成一组，形成一个三维模型，以增强其表示的稀疏性。Aram利用该3D理论，建立了一个新的图像模型―BM3D。BM3D在图像复原方面表现了其卓越的性能。

最近，保持图像几何结构的思想吸引了很多人的注意。Samy Bengio将图像分割成相互重叠的块，结构相似的块组成一个群组，分别对每个组进行分解训练，这就是群组编码的思想，其基本思想类似于非局部思想，也是利用了自然图像的自相似性。关于结构稀疏方面的研究展示了结构分组比简单不重叠的分组更一般的特性。例如，树状分组或是重叠分组。结构稀疏正则化具有十分广阔的应用前景。结构稀疏PCA作为一种新型的有效的非凸稀疏方法，在字典训练方面，可以取得较为理想的结果。

纵观稀疏表示理论出现以后的图像处理论文，广大研究者着重于研究如何获得表示能力强的冗余字典，以及通过结合多重约束，如平滑约束，相似性约束，几何结构不变性约束等来得到高质量的图像，近年来取得了很大的进展。但是稀疏表示属于一种优化问题，涉及到字典学习和稀疏求解的计算过程比较复杂，因而对于该理论在图像的实时处理上受到了限制，因此如何缩短计算时间也是这个模型急需解决的问题。

2 结语

该文介绍了稀疏表示模型，重点对其在提高数字图像质量方面的应用进行了综述，最后指出稀疏表示模型在图像处理中要实用化必须缩短计算时间。

参考文献

[1] Michal Aharon，Michael Elad，and Alfred Bruckstein.K-SVD：An Algorithm for Designing Overcomplete Dictionaries for Sparse Representation.IEEE Transactions on Signal Processing，2006.