旋转之后精彩纷呈

旋转是继平移、翻折之后又一新的变换。在全国各地的中考卷中，有关旋转问题的题目屡见不鲜，此类题中有的难度较大，甚至难以下手，若能考虑到将图形中的某部分进行适当地旋转，则会精彩纷呈、旗开得胜，现举例进行阐述。

旋转中考试题不规则图形规则图形

一、旋转，变远在天边为近在眼前

例1.（2006山东青岛）如图1，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10。若将PAC绕点A逆时针旋转后，得到P′AB，则点P与点P′之间的距离为，∠APB=。

分析：因为边AC旋转后与边AB重合，所以旋转角为60°，所以∠P′AP=60°。连接P′P，由旋转知AP′=AP，所以APP′为等边三角形，所以PP′=PA=6，∠APP′=60°。由旋转知P′B=PC=10，又知PB=8，所以P′PB中有PP′2+PB2=P′B2，所以P′PB为直角三角形，所以∠BPP′=90°。

解：点P与点P′之间的距离为6，∠APB=150°。

二、旋转，变不规则图形为规则图形

例2.（2009辽宁朝阳）如图2，AC是汽车挡风玻璃前的刮雨刷。如果AO=65cm，CO=15cm，当AC绕点O旋转90°时，则刮雨刷AC扫过的面积为cm2。

分析：由于OA=OA′，OC=OC′，AC=A′C′，故AOC≌A′OC′，所以∠OAC=∠OA′C′。又OA=OA′，OM′=OM，故有AM′=A′M。因此可将由线段A′M、A′C′及弧MC′ 所围成的图形绕点O逆时针旋转90°，得由线段AM′、AC及弧M′C所围成的图形。故刮雨刷AC扫过的面积等于由线段AM′、弧M′M、线段MA′、弧A′A所围成的图形的面积。而由线段AM′、弧M′M、线段MA′、弧A′A所围成的图形的面积恰好等于扇形OAA′与扇形OM′M面积之差，故问题获得解决。

解：故此题答案为 1000π。

例3.如图3，四边形ABCD中，∠BAD=60°，∠BCD=120°，AB=AD，BC+CD=2，求四边形ABCD的面积。

分析：四边形ABCD为不规则图形，要直接求它的面积比较困难，为此考虑将它分割，重新拼成一个规则图形。连接AC，因为AB=AD，∠BAD=60°，故将ACD绕点A顺时针旋转60°，得AEB，如图3。因为∠BAD=60°，∠BCD=120°，且四边形ABCD的内角和为360°，所以∠ABC+∠ADC=180°，由旋转知∠ABE=∠ADC，所以∠ABE+∠ABC=180°，故线段EB与线段BC共线。由旋转知四边形ABCD的面积恰等于AEC的面积。那么又如何求AEC的面积呢？由旋转知AE=AC，∠EAC=60°，故AEC为等边三角形。又知BC+CD=2且EB=CD，所以等边三角形AEC的边长为2。由于易求等边三角形AEC的面积，故本题获得解决。

解：略

点评：例3、例4都是求不规则图形的面积问题，解决这类问题的方法是：先根据已知条件将图形作适当的分割，再将其中一部分绕某点旋转，使其与另一部分拼成规则图形，从而使问题获得解决。

三、旋转，变图形形状而不变图形面积

例4.（2008湖南张家界）聪聪用两块含45°角的直角三角尺ABC、MNK进行一次探究活动：他将MNK的直角顶点M放在ABC的斜边AB的中点处，让MK经过C点（如图4甲），若BC=MK=4。

（1）此时两三角尺的重叠部分（ACM）面积为；

（2）再将图4甲中的MNK绕顶点M逆时针旋转45°得到图4乙，此时两三角尺的重叠部分（四边形MDCG）面积为；

（3）据此猜想：在MK与BC相交的前提下，将MNK绕点M旋转到任一位置（如图4丙）时两三角尺的重叠部分面积为__________________，请说出理由。

分析：（1）易证CMAB，因为CMMN，所以MN与AB共线，故两三角尺重叠部分为ACM，它的面积等于ABC面积的一半。（2）连接CM，易证∠A=∠MCG，AM=CM，∠AMD=∠CMG，所以AMD≌CMG。故四边形MDCG的面积等于ACM的面积，即四边形MDCG的面积等于ABC面积的一半。（3）连接CM，易证∠AMC=90°，∠A=∠MCG，AM=CM。因为∠AMD+∠DMC=90°，∠CMG+∠DMC=90°，所以有∠AMD=∠CMG，所以AMD≌CMG。故四边形MDCG的面积等于ACM的面积，即四边形MDCG的面积等于ABC面积的一半。

解：（1）4；（2）4；（3）4（理由见分析）

点评：本题中通过旋转一块三角尺发现：两块三角尺重叠部分的形状在改变，而重叠部分的面积始终保持不变，恒等于另一块定三角尺面积的一半。解决问题的方法是：一般问题特殊化，即将图丙中的重叠部分分割成两个三角形，证其中一个三角形与非重叠部分的一个三角形全等，从而再将分割成的两部分重新拼成图甲中重叠部分的三角形。

四、旋转，变单个图形为美丽图案

例5.（2005山东威海）如图5，在图5甲中，RtOAB绕其直角顶点O每次旋转90°，旋转三次得到右边的图形。在图5乙中，四边形OABC绕O点每次旋转120°，旋转二次得到右边的图形。下列图形中，不能通过上述方式得到的是（）。

分析：图5甲右边的图形绕点O旋转90°能与自身重合，图5乙右边的图形绕点O旋转120°能与自身重合，其中90、120均为360非本身的约数。选择支A中的图形绕某点旋转120°能与自身重合，