例谈整体思维方法在解三角函数题中的应用

整体思维是一种全面地、整体地思考问题的思维方式。整体思维要求我们在处理数学问题时，将需要解决的问题视为一个整体，从不同侧面、不同角度，全面地分析问题的整体形式、整体结构，或对整体结构作适当调整、改造，从而达到找出解题思路或简捷的解题方法的目的。整体思维在解题过程中，通过整体处理、整体观察等形式来表现。下面，本人谈谈整体思维在解三角函数题中的应用。

一、整体处理

例1 求函数y=3tan(2x+) 的定义域。

分析：这里把2x+视为一个整体，根据它应满足的条件进行整体处理，问题可直接获解。解：由正切函数的定义可知，2x+≠k?仔+，则x≠+，因此，函数y=3tan(2x+) 的定义域是x│x∈R且x≠+，k∈Z。

二、整体观察

例2 求函数y=sinxcosx+sinx+cosx 的最大值。

分析：通过整体观察，式中含有sinxcosx， sinx+cosx的式子，而sinxcosx可用 sinx+cosx表示出来，因此把 sinx+cosx视为一个整体，引进参数，问题即可解决。解：设 sinx+cosx=t ，则-≤t≤，sinxcosx=.y=+t=(t+1)2-1，当且仅当t=时，即x=2k?仔+(k∈Z) 时， ymax=+。

三、整体求出

例3 若sin(+)=，sin(-)= ，求tancot的值。

分析：把tancot 视为一个整体，从已知条件中构造出关于这个整体的方程，问题即可速解。解：由已知得=，即=。显然cossin≠0 ，分子、分母都除以cossin 得，，解得tancot=5。

四、整体代入

例4 已知tan=+1，求tan3-2tan2-2tan+3 的值。

分析：直接代入求，显然较繁，通过整体分析，发现所求值的式子可用tan-1 表示出来，这样把tan-1视作一个整体代入，从而可化难为易。解：原式=tan(tan2-2tan+1)-3tan+3 =tan(tan-1)-3(tan-1)，由已知tan=+1 得tan-1= ，原式=(+1)()2-3=3 .

五、整体配凑

分析：整体配凑就是把所求式子视作一个整体，针对所求式子的特征，为其配上一个恰当的式子，使得这两个式子通过某种运算得到一个有用的关系式，从而使问题获解。

例5 求sin220O+cos250O+sin20Ocos50O的值。

解：设A=sin220O+cos250O+sin20Ocos50O，B=cos220O+sin250O+

cos20Osin50O，则A+B=2+sin70O① ，A-B=-cos40O+cos100O+sin(-30O )=-sin70O- ②，①+② 得：2A=2- ，解得A= ，即sin220O+cos250O+sin20Ocos50O = 。

六、整体设想

例6 证明：在ABC 中，三内角A、B、C 任意两个交换，式子cotA+ 的值不变。

分析：如果将A 、B 、C 任意两个交换，则有3种情况要一一加以证明，显然较繁杂。如果我们从整体上考虑，设想只要能把式子化为轮换式，问题就可全部解决。证明： A+B+C=?仔，A=?仔-(B+C) ， cotA+=cotA+=cotA+=cotA+cotB+cotC，而cotA+cotB+cotC 是关于 A、B 、C 的轮换式， 将A 、B 、C 中任意两个交换，原式的值不变。

七、整体转化

例7 已知sin+sin=， cos+cos=，求tan(+) 的值。

分析：复数知识和三角知识联系较多，有些三角问题我们可以整体转化为复数问题求解，这也是一种思路。解：设z1=cos+isin，z2=cos+isin 则z1=z2=1，由复数模的性质得z1 z2===-+i，又z1 z2=cos(+)+isin(+)，cos(+)=-,sin(+)=，tan(+)=- 。

八、整体变形

例8 求函数y= 的值域。

分析：从整体考虑，把整个式子变为只含tanx 的形式，即可促使问题获解。解：由原函数可得y= ，整理得 (y-1)tan2x+(y+1)tanx+y-1=0。 tanx∈R， Δ=(y+1)2-4(y-1)2≥0，即3y2-10y+30≤0 ，解得≤y≤3。因此，函数的值域为,3。

从以上例子，我们可以看出整体思维在解三角函数问题中有着广泛的运用。事实上，它在解代数、立体几何、解析几何中同样也有广泛的运用。因此，我们在平时的解题教学中，只要根据题的特点，不失时机地注意渗透这种整体思想，天长日久，学生就会逐步领悟到其中的特点及妙用，逐步形成潜意识，这对今后的解题能力和思维能力的提高都是大有帮助的。

（通渭县马营中学）