离散Markovian跳变系统的稳定性研究及控制器设计

【摘 要】本文以离散Markovian跳跃系统为研究对象，利用Lyapunov稳定性定理，分析该系统的稳定性，并借助线性矩阵不等式（LMIs）的方法得到稳定性条件及控制器形式，并对实际系统进行仿真，得到控制器参数。

【关键词】离散Markovian跳跃系统；Lyapunov稳定法；性矩阵不等式（LMIs）

0.引言

在实际工业过程中，存在着愈加复杂的关联子系统，子系统的相关关联的转变、零件故障以及外界环境的突变，都会引起系统的结构和参数的变化，由这些突变产生的系统我们称之为Markovian跳跃系统[1]。这类系统可以描述众多的实际系统，对实际控制过程有较大价值，因此得到广泛关注。另一方面，迅猛发展的科技水平使得各种工业过程、生产设备以及其他很多的被控对象日益复杂化、大型化，系统维数呈现越来越高的趋势，所以，要想实现对工业过程的更优控制，要求更好地利用及优化Markovian模型，深入研究该类系统的稳定性条件以及控制策略，这不仅有重要的理论价值，也具有很重要的实际意义。

1.系统描述

1.1离散Markovian跳跃系统

离散Markovian跳变系统定义为一类具有Markov跳跃参数的离散时间切换系统，切换系统在切换的过程中，每一时刻的系统模式对应于一个子系统的模型，由切换序定每一时刻系统切换到哪一个子系统[2]。而Markov跳跃系统在模态的切换过程中并没有遵循任何固定的切换序列，各模态间是随机切换的，但这种随机切换是符合一定的统计特性，即服从Markov跳跃过程的，因此也被视为一类特殊的随机系统，或称随机Markov跳跃系统。而离散Makovian系统就是模态参数为离散的一类随机系统。针对离散Markovian跳变系统，Ji等证明了二阶矩稳定（均方稳定、随机稳定与指数均方稳定）是相互等价的特性，并运用随机Lyapunov泛函方法得到了随机稳定、随机镇定，均方稳定及几乎必然稳定的条件。接着，Boukas等以代数 Riccati方程的形式给出了离散Markovian跳跃系统的稳定性及鲁棒镇定性条件[3]。

1.2系统模型

考虑离散Markovian跳跃系统的模型为[4]：

（公式1）

其中，和是系统的状态和控制输入。这里，是离散同质的Markovian 链，在有限状态空间={1，2，..，N}取值，状态转移概率矩阵为，，其中状态转移概率代表从模态到模态的转移概率，并且：

， （公式2）

对于任意，。

2.系统稳定性分析

2.1李亚普诺夫稳定法

李雅普诺夫法是建立在普遍情况之上的一种稳定判据，即：如果系统有一个渐进稳定的平衡状态，那么当它运动到平衡状态的邻域内时，系统积蓄的能量随时间的增长而衰减，直到平衡状态处达到最小值[5]。若能找到一个完全描述上述过程的所谓的能量函数，则系统的稳定性问题也就容易解决了，对于离散跳变系统，引入李亚普诺夫能量函数，即：

对于离散Markovian跳变系统

，

而言，若存在正定函数，且满足

，，，

则平衡状态是渐进稳定的，如果是渐进稳定的，且当时，有，则是全局渐进稳定的。利用这种方法，我们就可以构造一个正定函数，用来判断系统的稳定情况。

2.2系统稳定条件

定理2.1对于系统（1），若存在一个正定矩阵P满足线性矩阵不等式，其中， ，则系统随机稳定[6]。

证明：分析系统稳定性时，令，系统模型简化为：

， （公式3）

设定能量方程为：

其中，P为正定矩阵，令，对于离散系统，变量的变化率用差分方程来表示，若要系统稳定，则要满足：

（公式4）

其中，

将公式3代入公式4，得：

（公式5）

由公式5可得证：即为系统稳定条件。

3.系统控制器设计

Markovian跳跃系统是一个随机性较强的系统，在控制系统的应用中，为了防止发生数据丢失、错发，要设计控制器使系统稳定。

3.1问题描述

设计控制器要考虑到系统的输入，系统模型为：

（公式6）

其中，为反馈控制器，且令

3.2稳定性分析

考虑Lyapunov能量方程的形式为，对能量方程进行微分，得到差分方程如下：

（公式7）

将公式6代表的系统带入代入公式7，得到：

（公式8）

由公式8可知，要想满足，使能量方程为衰减，需要满足：

（公式9）

可知，公式9即为离散系统的稳定性条件。

3.3控制器设计

已知离散Markovian跳变系统的稳定性条件为：

其中，，将其带入稳定性条件并变形得到：

（公式10）

以分别左乘和右乘上式公式10，得到

其中，

那么可由Schur补引理[7]，得到下列矩阵不等式

其中，*代表矩阵的对阵部分。令，得到

令，得到

（公式10）

由矩阵不等式公式10可知，要想得到控制器表达式，利用LMIs解得上式关于的解，控制器的表达形式为 ，使用Matlab进行求解。

4.数值算例

设跳跃系统的两个模态参数为：

，； ，

其中，状态转移概率矩阵设为

，

通过matlab求解得到

，

，

由得到

，。且t值为负数，结果验证了控制器设计的有效性。

5.结束语

本文通过对一类工业上应用较为普遍的随机系统，即Markovian离散跳变系统进行稳定性研究，得到了该系统在保守性较低的情况下控制器的设计方法，以李亚普诺夫定理、 LMIs等相关知识为基础，得到了该类系统线性矩阵不等式形式的稳定性条件和控制器形式，对实际工业系统的控制有一定的实际应用价值和进一步的研究空间。

参考文献：

[1]孙超.不确定离散时滞系统的鲁棒控制[M].哈尔滨：哈尔滨理工大学，2003：5-7

[2]陈武华 关治洪 卢小梅. 不确定离散时间马尔可夫切换时滞系统的保成本控制[J].控制理论与应用.2004，04.

[3] N. N. Krasovskii， E. A. Lidskii. Analytic Design of Controller in Systems with Random Attributes [J]. Automatic. Remote Contr. 1961，27： Part1，1021-1025； Part2，1141-1146.

[4]俞力.鲁棒控制―线性矩阵不等式处理方法[M].北京：清华大学出版社，2002.

[5] O. L. V. Costa， J. B. R. do Val， J. C. Geromel. Continuous-time State-feedback， H2-control of Markovian Jump Linear System via Convex Analysis[J].Automatica， 1999，35（2）：259-268

[6] X. Feng， K. A. Loparo， Y. Ji， et al， Stability Properties of Jump Linear System[J]. IEEE Trans.Automat.Control，1992，37（1）：38-53.

[7] 黄丽芳.不确定时滞系统控制器的设计―基于线性矩阵不等式[M]，河北：燕山大学，2006：12-15.