离散数学范文

离散数学范文第1篇

【关键词】离散数学；课程体系；教学改革；课堂质量

【教改项目】2015年，中国矿业大学校级教改项目：离散数学教学改革，项目编号：2015YB26.

一、引言

离散数学作为一门研究离散量的数学工具，主要研究离散量的关系和结构，计算机本身就是一个离散的结构，故离散数学对计算机的发展、计算机科学的研究起着非常重要的作用，是计算机专业的专业基础课.

离散数学分为集合论、代数系统、图论、数理逻辑四部分，其中布尔代数理论用于研究开关电路，对应的数字逻辑理论对计算机的逻辑设计起了很大的作用；用自动机理论研究形式语言；用代数结构研究编码理论；利用谓词验算研究程序正确性问题；利用能行性理论研究计算机中的可计算性问题等[1].这些内容旨在培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，以适应后续的计算机专业理论和编写算法程序的学习.

二、离散数学教学现状

中国矿业大学计算机学院将离散数学开设在第二学期，离散数学之前开设的专业课只有高级语言程序设计，因此，专业知识不够充实再加上离散数学体系松散、理论性较强的特点，每一届学生在离散数学的学习上都会存在各种问题，本文分别对在校2013级、2014级和2015级的300名学生进行问卷调查，考查学生对离散数学的认识，结果见下表.

结合表1和日常交流中学生们的反馈对离散数学教学中存在的问题总结如下：

（一）学生对离散数学的作用理解不到位，认为在专业学习中没有必要

针对该问题，各代课教师在绪论时就把离散数学的重要性、基本应用以及和其他后续课程的联系介绍得很清楚，但是学生没有接触过核心专业课，因此，专业知识基本上没有积累，不能很好地理解这一点.在授课过程中，因为离散数学概念定义多，抽象程度高，课程内容和实际结合不多，除了做题学生没有其他形式能看到学习成果，也缺乏趣味性.本科阶段的学生普遍认为计算机专业最直观的学习成果就是编程，离散数学的作用实际上体现在理论层次的研究和应用上，所以，学生的学习积极性不高，即便在课程结束后也有不少计算机专业的学生认为离散数学没有开设的必要性，究其原因，就是对离散数学课程的认识不深刻.

（二）离散数学注重方式方法，解题难度较大

离散数学题目逻辑性强抽象程度高，解题难度大，大一学生还没有完全脱离高中阶段的学习模式，没有完全掌握这种灵活深入注重方式方法的学习.下面举例子说明：

请证明：素数阶群必为循环群.

该题目已知条件很简单：群中元素个数为素数，要证明的是元素个数为素数的群是循环群.很多学生拿到题目无从下手，但是仔细分析就能得出很多其他条件，比如，素数和群这两个概念在一起会派生出什么，结合所学内容就是群和子群的联系，素数是只能被1和它本身整除的整数，因而，素数阶群只有两个子群：单位元群和素数阶群本身，然后怎么把这几个概念联系在一起从而得出结论呢，这里就要用到群的一个定义：群的任意一个元素a都能生成一个该群的循环子群.素数最小为2，所以，在群中存在一个非单位元元素a生成一个循环子群，综合以上得出该循环子群必是该群本身，题目也就得以证明.

从这个题目可以看出，离散数学解题方法很强，要求学习熟练掌握教材内容及知识点之间的联系，如果没有对知识点的熟练掌握和思路，很难正确地解答问题.

（三）理论结合实践方面不到位，解决实际问题的能力较差

离散数学教学的最终目的就是为了提高学生的抽象思维能力和解决实际问题的能力，离散数学在计算机理论研究方面和实际生活中的应用非常广泛，其很大一部分是建模能力的培养，例如，请证明：在任何两个或两个人以上的组里，存在两个在组内有相同个数的朋友.这个题目重点和上个例子完全不同，@个题目关键需要将应用题和解题知识点对应起来，如果知识点掌握不扎实，解题基本上没有思路.这里将组看成一个图，组内的人为一个顶点，如两人为好友则在两点之间生成一条边，至此，该题的本意就是求证两个顶点以上的简单图中存在两个相同度的顶点.

该题求证用反证法，假设图G中所有顶点（顶点数v）度都不相同，简单图中顶点最大的度为v-1，那么最小顶点度为0才能满足所有顶点度互不相同的条件；但是度数为v-1的顶点又需要和其他每个结点都有联系，因此，和其中一个顶点度为0矛盾.故题目得证.离散数学中有很多该类型的题目，强调的不只是知识点本身，更重要的是抽象建模的能力，即解决实际问题的能力.

（四）例题和课后练习题偏少

离散数学教材中例题大同小异，课时受限制，学生接触的题量和题型都很受限制，再加上课后和代课教师的沟通较少，因此，学生学习的主动性和积极性都受到很大的影响，没有足够的练习，自然在理解上就不到位，对离散数学的精髓也就不甚明了.

三、拟采用改革措施

针对离散数学教学中存在的主要问题，课题组多次展开教学研讨，为了更好地提高课堂效果，提高课堂教学效果，为学生学习后续专业课程打下扎实的基础，课题组提出了以下解决方案.

（一）引导学生转变学习观念，激发学习兴趣

离散数学内容散、概念多、逻辑性强、知识关联度高，其教学目的除了提高学生的逻辑推理能力和抽象思维能力之外，还要使学生掌握这个数学工具，为后续计算机专业课程的学习做好准备，具有一定的思辨能力和专业基础.

因此，授课教师应转变教学观念，从机械式填鸭式、转变为重视理解思考和应用，注重理论体系的把握而不是把注意力仅仅集中在知识点本身上，对数学运算的理解进行再认识和深度提升，如，代数系统（S，+）中的“+”可以是任意满足条件的操作，对单位元1和零元0的认识要区别它们在整数集中的性质，深入理解代数系统之后学生可以根据实际需求构建自己的规则库以及在规则库上的操作；循环群同构可以简化对循环群的研究，无限循环群同构于整数加群，周期为m的循环群同构于剩余类加群，故而对于满足相同特征的循环群归结为对这两种群的研究上，强化了循环群之间的联系，同时也简化了研究的难度和强度；集合论中偏序关系用≥表示，和数学中的大于等于的含义完全不同；等价关系和相容关系主要研究个体间的同一性，给模式分类提供了理论模型；数理逻辑中对于日常生活中没有因果关系的命题也可以进行逻辑运算和推理等，通过对比分析让学生对离散数学的理解不再只局限于知识点本身而是建立完整的知识体系，强化例子的理解培养学生的抽象思维能力和针对实际问题的数学建模能力.

（二）离散数学中具体知识点和实际应用联系起来

图论、关系等应用在复杂网络和大数据研究中越来越广泛和深入.代数系统中群、环、域等理论知识应用在信道编码中纠错方面.图论中货郎担问题就是车间生产模具中走刀问题的数学模型；分组可用二分图，电路布图可用平面图，城市间建立高速网高铁网可用最优二叉树；图论中的哈夫曼压缩是一种无损压缩，可用于指令系统的设计与改进.离散结构和算法思想对应于数据结构中的逻辑结构和其基本操作[3].笛卡尔积和二元关系理论用于关系数据库的查询与维护功能、关系分解的无损连接性分析等.逻辑推理和布尔代数为人工智能研究领域打下了良好的数学基础.

（三）解题方法和技巧的培养

离散数学具有独特的特点，比较重视可行性问题的研究，课程中涉及很多原理，如，鸽巢原理、容斥原理、数的可数性问题等，除了强调这些原理的应用，还要在证明方法上再用另外的方法证明，引导学生从不同的角度理解问题，证明过程中注意引导学生主动思考，深入理解基本定理和结论；除此之外多学、多看，认真分析典型例题的解题过程，再加上多练习，逐步解决学生解题难的问题，也能激发学生的学习兴趣.

学习离散数学的最大困难是其抽象性和逻辑推理的严密性.解一道题或证明一个命题，应首先读懂题意，然后，寻找解题或证明的思路和方法，当找到了解题或证明的思路和方法，把它严格地写出来.下面举例说明.例如，集合A={a，b，c，d}上的划分是S={{a，c}，{b，d}}，求由S导出A上的等价关系.

这个问题考查的是对等价关系和等价类之间关系的理解，大部分学生能从集合的等价关系求出等价类，但是反过来从等价类求对应的等价关系就无从下手.教材中有一个定理：给定集合X的一个划分（覆盖）A={A1，A2，…，An}，由它确定的关系R=A1×A1∪A2×A2∪…∪An×An是等价（相容）关系.这个例题用该定理就很容易解决，只要将集合{a，b}和{c，d}相乘求笛卡尔积就是对应的等价关系，即等价关系R={a，b}×{c，d}={（a，a），（b，b），（c，c），（d，d），（a，c），（c，a），（b，d），（d，b）}.代课教师要对这一类的题目进行归类分析，引导学生多接触方法性解题思路，课堂积累到一定程度，再加上布置课后作I，慢慢地也就能掌握到一定的解题方法和技巧.

（四）提供多沟通渠道，扩展辅导与答疑途径

对于代课教师来说，可以从以下几个途径和学生进行沟通：课堂上对知识点特别是重要的知识点结合多个例题进行讲解，了解知识点的各种应用，加之接触的题量多、题型也多，对知识点的理解也就比较到位，相应的积累的解题经验也就丰富起来；课后对应每一章节布置作业，作业类型尽量覆盖各种题型，难度也要注意平衡，在学生作业中选择有代表性的解题方法对比讲解，让学生从不同角度理解知识点的应用和解题方法的变换，启发学生思维，激发学习的积极性；开展开放式自学平台，除了教材提供的例题和习题，课题组还按照章节整理大量习题以网页的形式面向学生开放，这部分习题都附带解题思路和答案，提供给学生充足的学习资源，提高学生解题的熟练度.

四、结束语

离散数学的教学对于信息类相关专业学生的专业学习非常重要，本文从四个大的方面入手，切实提高学生对离散数学课程的认识，激发学习兴趣，提高教学质量.该项目由中国矿业大学教务处资助，为学生更好地学习专业课程打下坚实的基础.

【参考文献】

[1]徐洁磐.离散数学导论[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]杜林钰.离散数学在计算机学科中的应用[J].科技教育，2015（11）：464.

离散数学范文第2篇

关键词：离散数学；教学改革；教学方法

0引言

《离散数学》是计算机科学中重要的基础理论课程之一，它不仅是许多计算机专业课的必备基础，而且对培养学生抽象思维能力和逻辑推理能力有着重要的作用．但这门课程具有概念多、理论性强、高度抽象等特点，这无疑给教师的教学和学生的学习带来一定的难度．因此，如何提高离散数学课程的教学水平，对于计算机相关专业学生后续课程的学习以及提高学生的抽象思维和逻辑推理能力都具有现实的意义．本文结合作者近年来从事离散数学课程教学的实际，从教学内容、教学方法、教学手段等方面进行了一些初步探讨．

1提高学生对《离散数学》的认识，调动学习积极性

学生在学习离散数学时，往往看不到它在计算机科学中的具体应用，认为该课程对计算机科学的作用不大，因而不重视离散数学的学习，学习兴趣不高，学习效果不甚理想“兴趣是最好的老师”，因此，在上第一堂课时，教师就应该给学生介绍离散数学的重要性，提高学生的学习兴趣事实上，计算机学科的发展近年来与离散数学的主要内容如数理逻辑、抽象代数和图论等有非常紧密的联系随着计算机科学的快速发展，进行该学科相关的研究与开发的起点在不断提高，无论学生今后从事理论研究，还是应用开发或者是技术管理工作，都应该具有坚实的理论基础，才能适应学科迅速发展和知识更新的需要．当今计算机科学界的权威人士很多都是研究离散数学出身的．美国的软件之所以能领先，其关键就在于在数学基础上他们有很强的实力，有很多杰出的人才，而我国的信息技术的数学基础十分薄弱，这个问题不解决，我们就难成为软件强国计算机领域最负盛名、最崇高的一个奖项是图灵奖，具有“计算机界的诺贝尔奖”之称．图灵是一位英国的数学家的名字，他所创立的数学模型一一图灵机(离散数学内容之一)．在可计算性理论中起着重要作用，为计算机的诞生奠定了坚实的理论基础．为了纪念他对计算机科学所做的贡献，国际上用他的名字来命名这个奖项．著名的计算机软件大师狄克斯特(Dijkstra)曾经说过：“我现在年纪大了，搞了这么多年软件，错误不知犯了多少，现在觉悟了．我想假如我早年在数理逻辑上好好下点功夫的话，我就不会犯这么多的错误．不少东西逻辑学家早就说了，可我不知道要是我能年轻20岁．我要回去学逻辑”由此可见离散数学在计算机学科中的重要作用

2教学内容的优化

《离散数学》课程的教学内容一般包括四个部分：数理逻辑、集合论、代数系统、图论．这四部分内容中每一个部分都可以是一门独立的课程，它们分别作为《离散数学》课程的一部分，容易造成教学内容繁多与教学课时数偏少相矛盾，使教学过程具有很大的难度．如果这几部分的内容都要详细讲授，时间上来不及．所以在在教学过程中对讲授内容的设置上应当有所侧重，比如学生对集合论基础的很多内容在中学数学中已经有所了解，所以这部分内容只需要简要介绍一下，重点放在用集台论的方法解决实际应用问题上．对于二元关系这部分，侧重点是加强对与二元关系的几个性质相关问题的论证方法的训练．在数理逻辑上通过将一般命题公式和一阶逻辑公式化成范式，达到强化训练学生逻辑演算能力，并通过逻辑推理理论的学习来提高逻辑推理能力．图论部分重点放在基本概念的理解和实际问题的处理上，通过对相关定理及其证明思路的理解来体会图论的研究方法．代数系统这部分内容重点放在群论上，尤其要在代数系统、群、子群、循环群、变换群、正规子群的概念及相关问题的理解上下功夫，特别要掌握同构和同态的概念及应用，对于其它的代数系统如环、域及布尔代数则可以略讲．

另外，现行大多数教材，主要是集中在从纯数学理论角度教授基本内容，这也是不利于学生的理解学习的．如果选择了这种教材，在教学过程中，应穿插介绍一些知识点在计算机科学中的应用，将之与离散数学理论结合介绍给学生，使学生重视这一课程的学习，产生学习兴趣，主动地进行学习．这将有利于学生理解理论知识，又为后续课程的学习奠定基础．

3教学方法实践

3．1注重理论的理解。推行研究型教学

离散数学中有很多定义、定理、规则，几乎每一节课堂上少则十几个多则几十个新的术语或定理，很多学生由于习惯于背诵的方式来掌握概念，很容易产生枯燥甚至畏难情绪．在教学过程中，我们要注重对于问题的完整理解过程，而不是只告诉学生结论．因此，很多概念、定理都不用死记硬背，只需要理解，这样才能掌握得更牢．

比如，在一阶逻辑中有八个关于量词作用域里的扩张与收缩公式，学生刚开始看到这些公式时，可能会觉得太难记了．那么就需要把证明的方法告诉他们，掌握公式的来龙去脉．其实只有以下两个公式是相对特殊的，需要转换量词形式的：

((Ax)A(x)B)甘(3x)(A(x)B)

((3x)A(x)xB){(Ax)(A(x)B)

这两个公式可以在有限个体域中采用量词消去法把其中一个公式证明给学生看，其它几个公式要求学生课后采用类似的方法自己动手证明，既可以节省时间，又可以加深学生对公式的理解．

因此，需要把过去习惯的填鸭式教学转换为研究型教学，通过对典型问题的描述分析和解决，鼓励和引导学生实现研究为本的学习．对课程、对问题要多问几个为什么，挖掘深层的东西，要有意识地去培养学生踏实的科学态度．

3．2理论联系实际

离散数学这门课内容比较难，而且相对枯燥，特别是该课程的结构较为松散，内容杂，学生难以接受．因此．在讲解清楚各种基本概念、定理、定理证明、计算方法等基本内容之外，还应多举一些具有代表性的例子，以加深学生对知识的理解，并能随时介绍所学知识的应用背景和发展方向，使学生能感觉到这门课程的必要性，调动学生的积极性．例如在讲授平面图时，可以给出它们在印刷电路板、集成电路等方面的应用．

另外，如果讲课时能结合一些轻松的故事，也可减轻学习的压力．比如离散数学中哥尼斯堡七桥问题、著名的苏哥拉底三段论、土耳其商人和帽子的故事、一笔画问题、地图染色问题等等．但对于这些问题的介绍不能停留在故事的趣味性上，应当从故事人手，提出有思考性的问题，再促进和启发学生思维的积极性，这样就能达到较好的效果．

3．3具体与抽象相结合．

离散数学中的许多概念都很抽象，如果直接给出定义，学生往往难以理解．如果能从实际的例子出发，再抽象出基本概念，使得学生对这些概念有更深刻的理解．

例如“二元关系”，可以举一个家庭成员之间的关系的例子：假设某家庭有父母兄弟四位成员，在家庭成员这个集合上，常见的二元关系有父子关系、母子关系、兄弟关系、夫妻关系等，然后以数学符号的形式表示出来，最后再把二元关系的数学定义告诉学生．这样学生对“二元关系”这个概念就有比较清楚的认识了．又如在讲解“群”的概念时，可以先给出具体一个代数系统，如(Z，+)，然后得出该代数系统满足

群的三个条件：结合律、存在幺元和每个元素有逆元，从而引出群的定义．

3．4注重归纳与小结

离散数学的内容虽然多且散，但通过归纳，可以用一条主线贯穿始终，这就是离散数学讨论的内容大多包含两个方面：研究一个系统中涉及到的静态(基本概念)与动态(运算、操作、推理)．如集合论中是元素(静态)及其上的运算(动态)；代数系统中是集合(静态)及运算(动态)；数理逻辑中是公式(静态)和推理(动态)．通过归纳总结，学生能够理清头绪，提高学习效率．

在讲课时，应该把重点、难点精讲细讲，对于易懂的内容可以点到为止．此外还要经常归纳小结，尤其对于一些抽象的和难以记忆的重要知识点，更应该辅以有针对性的归纳总结．比如在讲完代数系统这部分内容时，可按照代数系统、半群、含幺半群、群的顺序依次阐述这几个概念，均是在前一个概念的基础上增加一个性质(封闭性、结合性、幺元、逆元)，最后用图示的方式进行小结，使学生更容易掌握这几个容易混淆的概念．

4教学手段改革

4．1建设网络课件。注重教学的互动性

随着计算机技术的发展与普及，在教学过程中引入网络课件已逐渐成为一种时尚．离散数学有很多定义、定理、性质等都是比较抽象的内容，如果在教学的过程中，就概念讲概念，就结论讲结论，学生将难予接受．如果能利用网络课件信息量大、生动有趣的特点，将概念、理论提出的背景以及在计算机技术中的应用介绍给学生，势必会加深学生对概念、理论的理解，激发学生进一步学习的积极性．在离散数学网络课件中，可以集成电子讲稿、作业、答疑、讨论、考试、试题库、网络资源、学习跟踪分析、管理等，极大地改变离散数学教学中存在的问题，为学生提供了丰富多彩的网上教学资源．可以在课堂教学的引导下，充分利用网络课件的特点让师生参与讨论，调动学生的主动性，引导学生发现问题和分析问题，让他们能够自由地、充分地、广泛地进行讨论，从而达到解决问题的目的．

网络课件的电子讲稿是教师上课和学生学习的主要资源，因此网络课件的建设一定要注重电子讲稿的质量．电子讲稿要尽量使用具体形象的媒体展示给同学．使其能从中体验形象与抽象的关系．在制作幻灯片画面时．要注意目标明确，使常规教学中要求的基本技能、重要的思想方法、运算能力和分析问题解决问题的能力尽量反映在课件中，各个幻灯片的连接注意衔接合理、自然．利用人工控制时间，使其变化有序，避免给学生产生黑板搬家的感觉．

当然，笔者认为离散数学网络课件并不能完全取代传统的教学方式．仅仅是利用计算机进行辅助教学，它还不能完全代替“黑板、粉笔”方式的教学．教师完全可以根据教学内容的需要，在教学过程中灵活、适当地应用黑板与粉笔，以起到其特有的点睛效果．例如对一些逻辑性较强，难以理解的需要推理、证明的教学内容，应该使用传统的授课方式进行教学．只有采用传统的教学方式与现代多媒体教学方式相结合的办法，才能实现教学过程的最优化．

4．2重视学生作业，定时测验

大学扩招以后，很多教师课时量都比较饱满，批阅作业的时间相对较少，有些教师甚至因此不布置作业或不批阅作业，这样显然是不利于学生的学习．离散数学的知识不经过学生的独立思考和多做练习是无法牢固掌握的，因此一定要给学生留一定数量的课后习题．但大部分学生不可能把课本上的习题全部做完，教师也不可能完全批阅．这就要求教师布置作业要选其精华，选题必须要有一定的深度和广度，要覆盖所学的内容，尽量选有启发性质的习题．对于学生的作业，要认真仔细批改，将作业中暴露出来的普遍问题，要进行课堂讲评．通过讲评作业，帮助学生澄清模糊和错误的认识．

另外，为了更好地了解学生的学习情况，克服学生的学习惰性，除了布置作业外，可以在讲完每一部分内容之后进行课堂测验，给学生施加一定的学习压力，把测验成绩作为平时成绩的一部分，让学生能及时地对学过的内容进行归纳、总结．由于时间关系，测验时所选的习题数量不宜过多，尽量做到少而精，具备综合性、典型性等特点．其次，要难度适中．例如在数理逻辑部分的测验中，可分别从命题符号化、公式类型判断、主析取范式、前束范式、逻辑推理等方面进行选题，共五道题左右，其中重点突出符号化与推理理论，力求以点带面，考察学生对所学知识的理解程度

4．3考试改革

笔者认为离散数学教学改革的一个重要环节是考试方法改革，实行教考分离．学生的考核成绩由平时成绩和考试成绩按一定比例组成，任课教师掌握平时成绩的评定，考试则实行教考分离，任课教师事先不知道考试题目，但可以与命题教师一起讨论命题范围、难度及题型．实行教考分离能进一步激发教师的教学热情和学生学习的主动性，对调动教与学的积极性是有促进作用的，同时也提高了考核的科学性．

5结束语

总之，要把离散数学这一门课教好，教师就要不断研究新的教学方法，认真掌握教学规律，借助于现代化教学手段，摒弃“填鸭式”教学，提倡“启发”式教学．教师只要具有扎实的理论功底，并具有对学生高度负责的精神，就一定能够找到较好的方法调动学生的学习积极性，从而达到良好的教学效果．

参考文献：

[1]赵青杉，孟国艳．关于离散数学教学改革的思考[J]．忻州师范学院学报，2005，21(5)：6．

[2]朱文兴．“离散数学”的教学实践和体会[J]．高等理科教育，2003．1：33—35

离散数学范文第3篇

关键词： 离散数学 简介 应用

1.离散数学的简介

离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机类专业的重要课程。它以研究离散量的结构及相互间的关系为主要目标，研究对象一般是有限个或可数个元素，因此离散数学可以充分描述计算机学科离散性的特点。它是传统的逻辑学、集合论（包括函数）、数论基础、算法设计、组合分析、离散概率、关系理论、图论与树、抽象代数、布尔代数，计算模型（语言与自动机）等汇集起来的一门综合学科。该课程主要介绍离散数学的各个分支的基本概念、基本理论和基本方法。这些概念、理论及方法大量地应用于数字电路、编译原理、数据结构、操作系统、数据库系统、算法的分析与设计、人工智能、计算机网络等专业课程中；同时，该课程提供的训练有益于学生概括抽象能力、逻辑思维能力、归纳构造能力的提高，有利于学生严谨、完整、规范的科学态度的培养。

2.离散数学在其他学科的应用

2.1数理逻辑在人工智能中的应用

人工智能是计算机学科一个非常重要的方向。离散数学在人工智能中的应用，主要是数理逻辑部分在人工智能中的应用，包括命题逻辑和谓词逻辑。命题逻辑就是研究以命题为单位进行前提与结论之间的推理，而谓词逻辑就是研究句子内在的联系。人工智能共有两个流派：连接主义流派和符号主义流派。在符号主义流派里，他们认为现实世界的各种事物可以用符号的形式表示出来，其中最主要的就是人类的自然语言可以用符号进行表示。语言的符号化就是数理逻辑研究的基本内容，计算机智能化的前提就是将人类的语言符号化成机器可以识别的符号，这样计算机才能进行推理，才能具有智能。由此可见，数理逻辑中重要的思想、方法及内容贯穿人工智能的整个学科。

2.2图论在数据结构中的应用

离散数学在数据结构中的应用，主要是图论部分在数据结构中的应用，其中树在图论中占着重要的地位。树是一种非线性数据结构，在现实生活中可以用树来表示某一家族的家谱或某公司的组织结构，也可以用它来表示计算机中文件的组织结构，树中二叉树在计算机科学中有着重要的应用。二叉树中三种遍历方法：前序遍历法、中序遍历法和后序遍历法，均与离散数学中的图论有密不可分的关系。

2.3离散数学在生物信息学中的应用

生物信息学是现代计算机科学一个崭新的分支，是计算机科学与生物学相结合的产物。目前，美国有一个国家实验室Sandia国家实验室，主要进行组合编码理论和密码学的研究，该机构在美国和国际学术界有很高的地位。另外，由于DNA是离散数学中的序列结构，美国科学院院士，近代离散数学的奠基人Rota教授预言，生物学中的组合问题将成为离散数学的一个前沿领域。而且IBM公司将成立一个生物信息学研究中心。在1994年，美国计算机科学家阿德勒曼公布了DNA计算机的理论，并成功地运用DNA计算机解决了一个有向哈密尔顿路径问题，这一成果迅速在国际产生了巨大反响，同时引起了国内学者的关注。DNA计算机的基本思想是：以DNA碱基序列作为信息编码的载体，利用现代分子生物学技术，在试管内控制酶作用下的DNA序列反应，作为实现运算的过程；这样，以反应前DNA序列作为输入的数据，反应后的DNA序列作为运算的结果，DNA计算机几乎能够解决所有的NP完全问题。

2.4离散数学在门电路设计中的应用

在数字电路中，离散数学的应用主要体现在数理逻辑部分的使用。在数字电路中，广于使用的逻辑代数即为布尔代数。逻辑代数中的逻辑运算与、或、非、异或与离散数学中的合取，析取、否定、异或（排斥或）相对应。数字电路的学习重点在于掌握电路设计技术，在设计门电路时，要求设计者根据给出的具体逻辑问题，求出实现这一逻辑功能的逻辑电路。

总之，离散数学无处不在，它的主要应用就是在各种复杂关系中找出最优的方案。离散数学完全可以看成是一门量化的关系学，一门量化了的运筹学，一门量化了的管理学。现在我国每一所大学的计算机专业都开设离散数学课程，正是由于离散数学在计算机科学中的重要应用，因此可以说没有离散数学就没有计算机理论，也就没有计算机科学。所以应努力学习离散数学，推动离散数学的研究，使它在计算机中有着更广泛的应用。

参考文献：

[1]朱家义，苗国义，等.基于知识关系的离散数学教学内容设计[J].计算机教育，2010（18）：98-100.

[2]方世昌.离散数学.西安电子科技大学出版社，1985.

[3]陈敏，李泽军.离散数学在计算机学科中的应用[J].电脑知识与技术，2009，5（1）：251-252.

[4]李大友.离散数学.清华大学出版社，2001.

离散数学范文第4篇

关键词：离散数学 特点 学习方法 定理梳理

离散数学由几个数学分支综合在一起，内容繁多，非常抽象，学习起来非常困难。但由于离散数学在计算机科学中的重要性，计算机专业的学生必须牢牢掌握这门课程。离散数学是理论性较强的学科，学习离散数学的关键是对集合论、数理逻辑和图论有关基本概念的准确掌握，对基本原理及基本运算的运用。

1、离散数学的特点和学习方法

1.1概念和定理多，须准确记忆

离散数学是建立在大量概念之上的逻辑推理学科，概念的理解和掌握是我们学习这门学科的核心。无论那本离散数学的教材，无论哪个教师讲课，都会给出若干定义和定理。掌握、理解和运用这些概念和定理是学好离散数学的关键。

离散数学考试中很多题目是直接考察定义和定理的，这部分题目往往难度较低，本应该较好得分的，大家在复习中却容易忽视。在计算机科学与技术同等学力申硕考试中，经常出现直接考查对知识点识记的题目，对于这类题目，就看考生能否全面、准确的理解和记忆概念和定理，任何的疏忽和模糊，都会造成极为可惜的失分。因此笔者建议，在复习的时候，务必对知识点深刻理解、准确记忆，离散数学的定义和定理主要集中在数理逻辑、集合论和图论三个部分，而数理逻辑又是离散数学的第一个部分，对这部分内容的理解和记忆直接影响后续学习的思维和信心，因此本文主要介绍数理逻辑部分定理的记忆方法。

1.2解题方法性强，须勤加练习

离散数学的特点是抽象思维能力的要求较高，证明题的方法性是很强的。离散数学的证明题多，不同的题型会需要不同的证明方法，如直接证明法、反证法、归纳法、构造最大最小最长等证明法。

如果知道一道题用什么方法，则很容易证出来，否则就会事倍功半。因此在平时的学习中，要勤于思考，对于同一个问题，尽可能多探讨几种证明方法，从而学会熟练运用这些证明方法。离散数学的教材提供了大量课后练习，花费大量时间做完这些习题是不现实的，但是题目类型是有限的，在做练习的过程中注意总结，最重要的是要掌握证明的思路和方法。例如在命题逻辑部分，无非是这么几种题目：将自然语言表述的命题符号化，等价命题的相互转化。在平常学习中，要善于总结和归纳，仔细体会题目类型和此类题目的解题套路。多作练习，即使遇到比较陌生的题也可以较快地领悟其本质，从而轻松解出。

2、学习离散数学的第一步

2.1概念定理梳理的必要性

学习离散数学的重中之重是对概念的理解。没办法理解和掌握这些抽象的定义和定理，就无法进入状态，老觉得听完课好像没听过，不容易进入学习的状态。因此每学完一个部分都应该对这部分内容进行梳理和总结，争取准确、全面、完整地记住并理解所有的定义和定理。只有这样才能适应本课程的特点，并为后续学习打下良好的基础。

2.2数理逻辑的核心推理理论

2.2.1命题逻辑推理定律（12条）+四条重要的推理规则

2.2.3重要推理定律

2.3结果

离散数学范文第5篇

摘要：根据离散数学课程自身的特点，分析在教学过程中遇到的主要问题，主要从教学方法方面对离散数学课程的教学改革进行了探讨，以期调动学生参与课堂学习的积极性和兴趣，达到提高教学质量，圆满完成教学任务的目标。

关键词：离散数学；教学方法；教学改革

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）26-0131-02

离散数学是以研究离散量的结构及其相互之间的关系为主要目标的一门数学课程，它是计算机科学专业学生的必修课程，也是计算机专业的核心基础课程。该课程在计算机专业学生的课程学习中，肩负着承上启下的重要作用，对该课程的学习有利于培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力，提高学生规范的科学态度，为将来从事计算机相关的工作奠定良好的基础。

一、学习离散数学的重要性

1.离散数学是面向计算机科学专业大一学生的一门课程，这个阶段的学生尚未形成计算机专业的思想，对离散数学在计算机领域当中的作用还不甚明白。因此，在正式讲授课程内容之前，必须详细地介绍学习离散数学的必要性和重要性。通过对离散数学的学习，可以使学生掌握处理计算机科学离散结构研究所必须的描述工具和方法，进而为用计算机来解决现实生活中具体的问题奠定了基础。这样做，可以引导学生树立对离散数学课程的正确认识，消除学习离散数学是继高等数学之后学习的另外一门数学课程的误区，明确学习离散数学的目的和意义，使学生们从思想上重视该门课程的学习。

2.离散数学在计算机型人才培养中，起着承前启后的重要作用，为学生后续课程的学习，如数据结构、操作系统、算法设计与分析、编译原理、人工智能、数据库原理等，提供了重要的理论基础。离散数学涵盖集合论、图论、代数系统和数理逻辑四个主要部分。其中，集合论和图论为数据结构和数据表示理论奠定了必要的数学基础，为现实生活中实际问题的算法描述和解决提供重要方法；代数系统和数理逻辑有利于培养学生的抽象归纳思维能力和逻辑思维能力，对编译原理、人工智能等研究具有重要的指导意义。因此，计算机型人才不仅要学习离散数学，还要学好该门课程，培养逻辑思维能力、抽象思维能力，激发创新能力，形成严谨、完整、规范的科学态度，为计算机专业的其他后续课程打下坚实的基础。

二、教学过程中存在的主要问题

离散数学是与计算机科学紧密相关的一门数学课程，根据以往的教学经验，发现学生在学习该课程的过程中存在如下的主要问题：1）定义、定理多，这是离散数学课程的一个突出特点。很多学生觉得难以记忆如此多的定义，对众多的定理也无从理解，难以灵活应用。2）方法性强，离散数学的这一特点主要体现在数理逻辑的证明题中。如果掌握了证明的方法，很容易就可以证明出来，甚至能采用几种方法进行证明；否则，就毫无头绪，无从下手。3）理论联系实际强，比如图论中的问题。对现实生活中的问题，能够抽象为数学模型，用数学工具进行描述，进而可以用计算机解决问题，是学习离散数学的一个重要目标。

简而言之，离散数学具有概念和定理多、理论和方法性强、理论联系实际强的特点。因此，改革离散数学的教学方法，激发学生学习的热情和积极性，对提高离散数学的课堂教学质量和学生后续课程的学习均具有重要的意义，是一个亟待解决的重要课题。

三、教学方法改革

针对学生学习离散数学过程中存在的主要问题，摒弃传统“满堂灌”的教学方法，确立“以教师为主导、以学生为主体”的教育思想，以培养学生抽象思维能力和逻辑推理能力、创新能力作为重点的教育理念，来调动学生学习的热情和兴趣，提高离散数学的课堂教学效果，达到圆满完成教学任务的目的。

（一）增强课堂趣味性，激发学生产生浓厚的兴趣

离散数学课程最突出的特点是定义和定理多。以往的教学实践证明，照本宣科的教学方法使得课堂气氛死气沉沉，学生提不起W习兴趣，敷衍了事。针对离散数学的这一特点，进行如下的教学方法改革，以期调动学生参与课堂学习的热情和积极性，激发学生们学习离散数学的兴趣。

1.将定义进行示例化，建立定义和生活示例的联系。通过示例方式讲解定义，可以轻松将学生从抽象定义中解放出来，贴切、生动的看到定义的实质，营造出活泼、愉快的课堂氛围，同时，示例化的定义讲解方法也有利于加深学生对定义的理解。

2.采用类比方式讲解定义之间的区别，有效的降低学生学习的难度。例如，在函数的分类中有多对一函数和一对一函数，它们的区别可以用封建社会的一夫多妻制度和现在社会的一夫一妻制度分别进行描述。采用类比的讲解方式，让学生在笑声中体会这2个定义的差别，课堂气氛活跃，学生接受起来相对容易，记忆也更为深刻。

3.层层递进的知识点结构化教学设计，清晰的呈现各个概念之间的关系。例如，对于代数系统中的众多定义，可以按照如下的方式理解：满足结合律的代数系统是半群，存在单位元素的半群是单元半群，每个元素都存着逆元素的单元半群成为群。如此层层递进，便将定义与定义之间无缝衔接起来，既让学生看到了它们之间的联系，也了解了它们的区别，使知识条理化和系统化。

（二）对典型题目，归纳总结方法，举一反三

离散数学具有理论性强，方法性强的特点，这一特点在数理逻辑部分尤为明显。数理逻辑，又称为符号逻辑，是用数学方法研究形式逻辑中推理规律的一种理论。很多学生觉得数理逻辑部分晦涩难懂，缺乏兴趣，尤其是证明题目，方法性很强，经常会感觉无从下手。针对离散数学的这一特点，在课堂教学中要做好如下几点：

1.注重归纳小结，使方法条理化。在教学过程中，要总结做题方法，掌握什么样的方法适用什么样的题目。这样，当学生遇到题目时，便可以对症下药。根据具体的题目，让学生理解并且吃透每种方法适用的题目，则会大大降低命题演算的难度。同时，对方法的归纳和小结可以加强学生对知识的理解和掌握，举一反三，达到对所学知识灵活运用的目的。

2.加强典型习题的练习，鼓励学生勤于思考。对于课堂讲授中的重点和难点问题，要选取典型、少而精的习题进行侧重练习。所选习题的数量不宜过多，目的在于巩固学生的掌握程度。同时，对于一道题，鼓励学生独立思考，各抒己见，尽可能地多探讨几种解法，以激发学生的创新思维，促进学生之间学习的良性竞争。

（三） 倡导启发性教学，加强理论联系实际

在离散数学的教学过程中，理论联系实际是学生感觉最吃力的一个特点，然而，该特点也是学习离散数学最重要的原因之一。培养学生从离散的角度，建立实际问题的数学模型，灵活应用所学知识以及相关结论分析实际问题，从而为计算机解决问题奠定基础。

1.采用生活中的具体问题，讲解离散的抽象过程。如图论中的哥尼斯堡七桥问题、周游世界问题、一笔画等，详细讲解将这些现实问题抽象为图论殊图的过程，培养学生的抽象思维能力，这样做，也可以使学生对相关的概念和结论的理解更加深刻，也意识到离散数学的现实应用。

2.启发式教学，有意识地引导学生运用所学理论知识去分析实际问题，从而为用计算机解决问题奠定基础，也让学生充分感受到离散数学这门课程的魅力和实用性等。启发式的教学方法，不仅调动了课堂气氛，而且激发了学生学习的主观能动性，也逐渐增强了学生分析问题、理论联系实际的能力。

作为计算机专业一门重要的核心理论课程，离散数学具有高度的抽象性、极强的理论性和丰富的内容，要讲好该课程需要教师不断地探索方便学生理解、记忆的教学方法，有意识地引导学生运用所学理论去分析实际问题、解决实际问题，从而让学生充分感受到离散数学这门课程的意义。在讲课中，要善于引导学生，摒弃“填鸭式”教学，倡导启发式教学，调动学生学习的主观能动性；及时发现学生遇到的困难，解决困惑，避免学生出现受挫感；突出重点，深入浅出的讲解难点，有张有弛地完成教学内容。同时，还要认真的积累教学规律，逐步形成一套行之有效的离散数学教学方法，圆满地完成教学任务。

⒖嘉南祝

[1]屈婉玲，王元元，傅彦，张桂芸，“离散数学”课程教学实施方案[J].中国大学教学，2011，（1）.

[2]谢志强.讲好离散数学的第一次课[J].计算机教育，2011，16（5）.

离散数学范文第6篇

关键词：离散数学；教学改革；教学方法

0引言

《离散数学》是计算机科学中重要的基础理论课程之一，它不仅是许多计算机专业课的必备基础，而且对培养学生抽象思维能力和逻辑推理能力有着重要的作用．但这门课程具有概念多、理论性强、高度抽象等特点，这无疑给教师的教学和学生的学习带来一定的难度．因此，如何提高离散数学课程的教学水平，对于计算机相关专业学生后续课程的学习以及提高学生的抽象思维和逻辑推理能力都具有现实的意义．本文结合作者近年来从事离散数学课程教学的实际，从教学内容、教学方法、教学手段等方面进行了一些初步探讨．

1提高学生对《离散数学》的认识，调动学习积极性

学生在学习离散数学时，往往看不到它在计算机科学中的具体应用，认为该课程对计算机科学的作用不大，因而不重视离散数学的学习，学习兴趣不高，学习效果不甚理想“兴趣是最好的老师”，因此，在上第一堂课时，教师就应该给学生介绍离散数学的重要性，提高学生的学习兴趣事实上，计算机学科的发展近年来与离散数学的主要内容如数理逻辑、抽象代数和图论等有非常紧密的联系随着计算机科学的快速发展，进行该学科相关的研究与开发的起点在不断提高，无论学生今后从事理论研究，还是应用开发或者是技术管理工作，都应该具有坚实的理论基础，才能适应学科迅速发展和知识更新的需要．当今计算机科学界的权威人士很多都是研究离散数学出身的．美国的软件之所以能领先，其关键就在于在数学基础上他们有很强的实力，有很多杰出的人才，而我国的信息技术的数学基础十分薄弱，这个问题不解决，我们就难成为软件强国计算机领域最负盛名、最崇高的一个奖项是图灵奖，具有“计算机界的诺贝尔奖”之称．图灵是一位英国的数学家的名字，他所创立的数学模型一一图灵机(离散数学内容之一)．在可计算性理论中起着重要作用，为计算机的诞生奠定了坚实的理论基础．为了纪念他对计算机科学所做的贡献，国际上用他的名字来命名这个奖项．著名的计算机软件大师狄克斯特(Dijkstra)曾经说过：“我现在年纪大了，搞了这么多年软件，错误不知犯了多少，现在觉悟了．我想假如我早年在数理逻辑上好好下点功夫的话，我就不会犯这么多的错误．不少东西逻辑学家早就说了，可我不知道要是我能年轻20岁．我要回去学逻辑”由此可见离散数学在计算机学科中的重要作用

2教学内容的优化

《离散数学》课程的教学内容一般包括四个部分：数理逻辑、集合论、代数系统、图论．这四部分内容中每一个部分都可以是一门独立的课程，它们分别作为《离散数学》课程的一部分，容易造成教学内容繁多与教学课时数偏少相矛盾，使教学过程具有很大的难度．如果这几部分的内容都要详细讲授，时间上来不及．所以在在教学过程中对讲授内容的设置上应当有所侧重，比如学生对集合论基础的很多内容在中学数学中已经有所了解，所以这部分内容只需要简要介绍一下，重点放在用集台论的方法解决实际应用问题上．对于二元关系这部分，侧重点是加强对与二元关系的几个性质相关问题的论证方法的训练．在数理逻辑上通过将一般命题公式和一阶逻辑公式化成范式，达到强化训练学生逻辑演算能力，并通过逻辑推理理论的学习来提高逻辑推理能力．图论部分重点放在基本概念的理解和实际问题的处理上，通过对相关定理及其证明思路的理解来体会图论的研究方法．代数系统这部分内容重点放在群论上，尤其要在代数系统、群、子群、循环群、变换群、正规子群的概念及相关问题的理解上下功夫，特别要掌握同构和同态的概念及应用，对于其它的代数系统如环、域及布尔代数则可以略讲．

另外，现行大多数教材，主要是集中在从纯数学理论角度教授基本内容，这也是不利于学生的理解学习的．如果选择了这种教材，在教学过程中，应穿插介绍一些知识点在计算机科学中的应用，将之与离散数学理论结合介绍给学生，使学生重视这一课程的学习，产生学习兴趣，主动地进行学习．这将有利于学生理解理论知识，又为后续课程的学习奠定基础．

3教学方法实践

3．1注重理论的理解。推行研究型教学

离散数学中有很多定义、定理、规则，几乎每一节课堂上少则十几个多则几十个新的术语或定理，很多学生由于习惯于背诵的方式来掌握概念，很容易产生枯燥甚至畏难情绪．在教学过程中，我们要注重对于问题的完整理解过程，而不是只告诉学生结论．因此，很多概念、定理都不用死记硬背，只需要理解，这样才能掌握得更牢．

比如，在一阶逻辑中有八个关于量词作用域里的扩张与收缩公式，学生刚开始看到这些公式时，可能会觉得太难记了．那么就需要把证明的方法告诉他们，掌握公式的来龙去脉．其实只有以下两个公式是相对特殊的，需要转换量词形式的：

((Ax)A(x)B)甘(3x)(A(x)B)

((3x)A(x)xB){(Ax)(A(x)B)

这两个公式可以在有限个体域中采用量词消去法把其中一个公式证明给学生看，其它几个公式要求学生课后采用类似的方法自己动手证明，既可以节省时间，又可以加深学生对公式的理解．

因此，需要把过去习惯的填鸭式教学转换为研究型教学，通过对典型问题的描述分析和解决，鼓励和引导学生实现研究为本的学习．对课程、对问题要多问几个为什么，挖掘深层的东西，要有意识地去培养学生踏实的科学态度．

3．2理论联系实际

离散数学这门课内容比较难，而且相对枯燥，特别是该课程的结构较为松散，内容杂，学生难以接受．因此．在讲解清楚各种基本概念、定理、定理证明、计算方法等基本内容之外，还应多举一些具有代表性的例子，以加深学生对知识的理解，并能随时介绍所学知识的应用背景和发展方向，使学生能感觉到这门课程的必要性，调动学生的积极性．例如在讲授平面图时，可以给出它们在印刷电路板、集成电路等方面的应用．

另外，如果讲课时能结合一些轻松的故事，也可减轻学习的压力．比如离散数学中哥尼斯堡七桥问题、著名的苏哥拉底三段论、土耳其商人和帽子的故事、一笔画问题、地图染色问题等等．但对于这些问题的介绍不能停留在故事的趣味性上，应当从故事人手，提出有思考性的问题，再促进和启发学生思维的积极性，这样就能达到较好的效果．

3．3具体与抽象相结合．

离散数学中的许多概念都很抽象，如果直接给出定义，学生往往难以理解．如果能从实际的例子出发，再抽象出基本概念，使得学生对这些概念有更深刻的理解．

例如“二元关系”，可以举一个家庭成员之间的关系的例子：假设某家庭有父母兄弟四位成员，在家庭成员这个集合上，常见的二元关系有父子关系、母子关系、兄弟关系、夫妻关系等，然后以数学符号的形式表示出来，最后再把二元关系的数学定义告诉学生．这样学生对“二元关系”这个概念就有比较清楚的认识了．又如在讲解“群”的概念时，可以先给出具体一个代数系统，如(Z，+)，然后得出该代数系统满足群的三个条件：结合律、存在幺元和每个元素有逆元，从而引出群的定义．

3．4注重归纳与小结

离散数学的内容虽然多且散，但通过归纳，可以用一条主线贯穿始终，这就是离散数学讨论的内容大多包含两个方面：研究一个系统中涉及到的静态(基本概念)与动态(运算、操作、推理)．如集合论中是元素(静态)及其上的运算(动态)；代数系统中是集合(静态)及运算(动态)；数理逻辑中是公式(静态)和推理(动态)．通过归纳总结，学生能够理清头绪，提高学习效率．

在讲课时，应该把重点、难点精讲细讲，对于易懂的内容可以点到为止．此外还要经常归纳小结，尤其对于一些抽象的和难以记忆的重要知识点，更应该辅以有针对性的归纳总结．比如在讲完代数系统这部分内容时，可按照代数系统、半群、含幺半群、群的顺序依次阐述这几个概念，均是在前一个概念的基础上增加一个性质(封闭性、结合性、幺元、逆元)，最后用图示的方式进行小结，使学生更容易掌握这几个容易混淆的概念．

4教学手段改革

4．1建设网络课件。注重教学的互动性

随着计算机技术的发展与普及，在教学过程中引入网络课件已逐渐成为一种时尚．离散数学有很多定义、定理、性质等都是比较抽象的内容，如果在教学的过程中，就概念讲概念，就结论讲结论，学生将难予接受．如果能利用网络课件信息量大、生动有趣的特点，将概念、理论提出的背景以及在计算机技术中的应用介绍给学生，势必会加深学生对概念、理论的理解，激发学生进一步学习的积极性．在离散数学网络课件中，可以集成电子讲稿、作业、答疑、讨论、考试、试题库、网络资源、学习跟踪分析、管理等，极大地改变离散数学教学中存在的问题，为学生提供了丰富多彩的网上教学资源．可以在课堂教学的引导下，充分利用网络课件的特点让师生参与讨论，调动学生的主动性，引导学生发现问题和分析问题，让他们能够自由地、充分地、广泛地进行讨论，从而达到解决问题的目的．

网络课件的电子讲稿是教师上课和学生学习的主要资源，因此网络课件的建设一定要注重电子讲稿的质量．电子讲稿要尽量使用具体形象的媒体展示给同学．使其能从中体验形象与抽象的关系．在制作幻灯片画面时．要注意目标明确，使常规教学中要求的基本技能、重要的思想方法、运算能力和分析问题解决问题的能力尽量反映在课件中，各个幻灯片的连接注意衔接合理、自然．利用人工控制时间，使其变化有序，避免给学生产生黑板搬家的感觉．

当然，笔者认为离散数学网络课件并不能完全取代传统的教学方式．仅仅是利用计算机进行辅助教学，它还不能完全代替“黑板、粉笔”方式的教学．教师完全可以根据教学内容的需要，在教学过程中灵活、适当地应用黑板与粉笔，以起到其特有的点睛效果．例如对一些逻辑性较强，难以理解的需要推理、证明的教学内容，应该使用传统的授课方式进行教学．只有采用传统的教学方式与现代多媒体教学方式相结合的办法，才能实现教学过程的最优化．

4．2重视学生作业，定时测验

大学扩招以后，很多教师课时量都比较饱满，批阅作业的时间相对较少，有些教师甚至因此不布置作业或不批阅作业，这样显然是不利于学生的学习．离散数学的知识不经过学生的独立思考和多做练习是无法牢固掌握的，因此一定要给学生留一定数量的课后习题．但大部分学生不可能把课本上的习题全部做完，教师也不可能完全批阅．这就要求教师布置作业要选其精华，选题必须要有一定的深度和广度，要覆盖所学的内容，尽量选有启发性质的习题．对于学生的作业，要认真仔细批改，将作业中暴露出来的普遍问题，要进行课堂讲评．通过讲评作业，帮助学生澄清模糊和错误的认识．

另外，为了更好地了解学生的学习情况，克服学生的学习惰性，除了布置作业外，可以在讲完每一部分内容之后进行课堂测验，给学生施加一定的学习压力，把测验成绩作为平时成绩的一部分，让学生能及时地对学过的内容进行归纳、总结．由于时间关系，测验时所选的习题数量不宜过多，尽量做到少而精，具备综合性、典型性等特点．其次，要难度适中．例如在数理逻辑部分的测验中，可分别从命题符号化、公式类型判断、主析取范式、前束范式、逻辑推理等方面进行选题，共五道题左右，其中重点突出符号化与推理理论，力求以点带面，考察学生对所学知识的理解程度

4．3考试改革

笔者认为离散数学教学改革的一个重要环节是考试方法改革，实行教考分离．学生的考核成绩由平时成绩和考试成绩按一定比例组成，任课教师掌握平时成绩的评定，考试则实行教考分离，任课教师事先不知道考试题目，但可以与命题教师一起讨论命题范围、难度及题型．实行教考分离能进一步激发教师的教学热情和学生学习的主动性，对调动教与学的积极性是有促进作用的，同时也提高了考核的科学性．

5结束语

总之，要把离散数学这一门课教好，教师就要不断研究新的教学方法，认真掌握教学规律，借助于现代化教学手段，摒弃“填鸭式”教学，提倡“启发”式教学．教师只要具有扎实的理论功底，并具有对学生高度负责的精神，就一定能够找到较好的方法调动学生的学习积极性，从而达到良好的教学效果．

参考文献：

[1]赵青杉，孟国艳．关于离散数学教学改革的思考[J]．忻州师范学院学报，2005，21(5)：6．

[2]朱文兴．“离散数学”的教学实践和体会[J]．高等理科教育，2003．1：33—35

离散数学范文第7篇

关键词: 大学离散数学 教学方法 课堂教学

离散数学是现代数学的一个重要分支,是研究离散的结构和相互间关系的学科,是计算机科学技术的支撑学科之一。离散数学的教学由于知识点较多,课时有限,课容量大,教师注重严密性与逻辑性,强调对概念、原理的掌握,导致学生学习的过程中感觉枯燥无味,记不住太多的知识点,会有捡了芝麻又丢了西瓜的感觉。这些客观原因对教师提出了严格的要求,必须充分准备采用多种教学方法,使抽象的概念形象化,帮助学生的理解和记忆,以便于学生在有限的时间内掌握更多的知识点。

教师要想上好一节课,必须拿出上课时间三倍的时间来备课。教师首先要吃透教材,只有熟悉了教材才能顺利完成教学任务,熟悉教材不仅包括掌握课本上的内容,而且要深入到更深的层次上。

比如在讲欧拉图和哈密顿图的过程中,教师可以在上课前通过上网查资料,弄清楚欧拉图是欧拉通过哥尼斯堡七桥问题抽象出来的。尼斯堡是位于普累格河上的一座城市,它包含两个岛屿和连接它们的七座桥,该河流经城区的这两个岛,岛与河岸之间架有六座桥,另一座桥则连接着两个岛。星期天散步已成为当地居民的一种习惯,但试图走过这样的七座桥,而且每桥只走过一次却从来没有成功过,但直至引起瑞士数学家欧拉注意之前,没有人能够解决这个问题。通过这样一个有意思的小故事引出欧拉图,学生就很容易记住欧拉图讲的是边不能重复的问题。在讲哈密顿图时,教师可以介绍一下哈密顿周游世界问题,从正十二面体的一个顶点出发,沿着正十二面体的棱前进,要把十二面体顶点无一遗漏地全部通过,而每个顶点恰好只通过一次,最后回到出发点。在这个问题刚提出来时,生产商以为这是一个难题,专为此设计了一个玩具,以为可以吸引消费者,谁知当这玩具推出市场时,这个问题立刻被人解决了,令生产商损失了一大笔钱。学生可以在笑声中很容易地记住哈密顿图是点不重复问题,知道这两个图的区别。这些都要求教师在备课的过程中要充分准备各种资料。

教师在开始离散数学的教学之前应先简单介绍一下这门课程的重要意义及作用,点明离散数学对其后续课程的基础作用,让学生意识到这门课程在整个专业课程中的地位。学生只有提高了学习的积极性,才会主动地去学习,而不是被动地接受老师填鸭式的教学。教师应先把整个教材的内容分成几个小部分,把每一部分的结构帮学生梳理清楚,简单介绍一下每部分的主要内容。以耿素云的《离散数学》为例,教师可以通过列表的方法把整个教材分成五个部分,这样子可让学生在学习之前就大体了解离散数学的框架。

在上课的过程中,教师要采用多种教学方法。离散数学定义特别多,不太适用传统教学手段像黑板板书之类的,这就要求教师采用现代化的教学方法多媒体,而对数学来讲单纯多媒体教学效果不是特别好,所以应该将这两种教学方法相结合。在课堂上教师应注意学生对这节课教学内容的反馈,多问几个“听明白了吗”,“有没有问题”,不能只注重教,要注重教学效果,要重视学生的情绪,及时调整教学进度,把学生的思路引进到教学活动中来,使之兴趣盎然。比如在讲数理逻辑这一部分内容时,教师可以多举几个实际问题的例子,以便引起学生的兴趣。在讲关键路径时,在定义描述中最早完成时间是沿最长路径到达目的地所需要的时间,大部分学生对这个最长路径不理解。我给学生举了个简单的例子:在工程的盖楼过程中,假设盖好一层楼需要两个必须步骤,一是买水泥做钢筋混凝土,二是打木桩,在盖楼的过程中,买水泥需要两周的时间,做混凝土需要三周,而打木桩需要四周,那么现在盖起楼的最早完成时间是五周,取决于时间最长的那个步骤。这样通过一个简单的例子,学生就记住最早完成时间的概念。教学方法只是一种手段,而不是教学目的,甚至可以对某些内容设计几套方案,以防止种种可能出现的结果,做到有备无患。

在离散数学的教学过程中要讲求教学的针对性,离散数学是计算机类专业普遍开设的一门专业基础课,这就决定了其面向特定的学生,这要求教师要注重学生的学科特点和内容的针对性。计算机学科的发展速度很快,课本的内容可能有些已经跟不上时代的发展,教师需要在教学过程中多去查资料,运用互联网的资源,把最先进最前沿的学科知识介绍给学生,不断更新引例,使授课内容更具时代特色和生活气息。比如在讲最短路径时,教师可以找一个运用到最短路径的实际例子,把这个问题的程序给学生运行一下,让学生明白所学到的知识点和实际问题有什么联系。另外一个问题是在讲特殊的图时,可以结合实际,比如说教务处安排考试的问题,要求教务处七天安排七门考试,同一个老师担任的几门课程不能排在相邻的两天,并且已知一个老师最多担任四门课程,问题是教务处能否安排出可行的考试方案。我在讲课的过程中提到这个问题时,本来已经介绍过几种特殊的图,但学生感觉内容太多接受不了,可是一听考试并且和自己密切相关,顿时打起精神,纷纷讨论怎么安排可行,这就把课堂气氛搞活跃了。最初学生并不能联想到把这个转化成图的问题,我就一步一步地引导,告诉他们先把实际问题转化成图的问题画在纸上,然后看看题目要求的这个图具有什么特性。最后学生才恍然大悟,原来是哈密顿通路问题,这样子这一节课的教学效果就会比较好。

检查学生掌握程度的手段是测试,但是不能让测试成为学生的压力,让他们对离散数学的学习产生抵触程序。考试是衡量学生学习水平的重要手段,应该为教学而考试,而不是为考试而教学,学生掌握这门课程才是教师教的目的。

学习知识的目的是为了培养学生动手能力,同时也加深他们对该课程在专业教学中地位的理解和认识。在离散数学的教学过程中,教师应尝试在传统教学内容的基础上,适当增加上机实验操作的教学模式。教师在探索的基础上,应不断丰富实验内容,在量的积累的基础上达到质的飞跃,从而建立一套完备的离散数学的教学方法,进一步提高离散数学在计算专业中的地位。

参考文献:

[1]罗幼芝.提高离散数学实践性教学的探讨.湖北生态工程职业技术学院学报,2009,Vol7,No.4:25-28.

[2]离散数学课程教学改革探索与实践.计算机教育,2010.3.25,6:100-103.

离散数学范文第8篇

[关键词]离散数学；实验；教学

[作者简介]李军(1960-)，男，广西梧州人，梧州学院计算机与电子信息工程系讲师，研究方向：图形图像处理，信息安全。

一、引言

离散数学是计算机专业本专科的一门必修的专业基础课程，它主要介绍离散数学的各个分支的基本概念、基本理论和基本方法，是多门专业基础课和专业课的先导课程，对离散数学课程的理解和掌握直接影响到学习计算机专业课程，以及培养学生抽象思维能力和解决问题的能力。计算机专业学生学习离散数学应注重与学科结合的重要性、注重课堂教学方法的改进，理论联系实际，激发学生从计算机角度出发来学习数学知识的兴趣。离散数学的后继课程，如数字电路、编译原理、数据结构、操作系统、数据库系统、算法的分析与设计、人工智能、计算机网络等专业课程都是实践性很强的课程，在对离散数学进行教学的时候就增加实验的内容，将极大的提高学生的动手能力和加深对知识的理解，并大大的有益于以后的教学活动、有益于学生概括抽象能力、逻辑思维能力、归纳构造能力的提高，有益于学生严谨、完整、规范的科学态度的培养。

当前信息技术发展十分迅速，推动了数学工具软件的发展，如Matlab、Mathematica、MathCAD这样的数学软件的产生，极大的方便了数学问题的解决，引起了数学研究和数学教学的重大变化。在离散数学教学中引入实验教学内容，是适应信息时代的要求的。设立离散数学实验对培养学生的数学能力和计算机应用能力将起十分重要的作用，也将对学生在后续课程的学习带来极大的帮助。本文就作者近年来在离散数学教学实践的基础上对这门课程的实验教学目的、意义、内容和作用做初步的阐述、并对课程的实验方法和教法做出讨论研究。

一直以来，高校离散数学的课堂教学均是沿用教师课堂讲授，学生课后做习题的教学模式。这种单一手段的传统教学模式在教学进入到数字化信息时代的今天显然已不完全适应现代社会发展的要求。另外，由于相当一部分教授离散数学的教师都是数学背景的，对计算机技术的发展应用也许掌握的不是很好，对离散数学与计算机科学技术的关系也认识得不够充分，这影响了他们在教学中运用计算机进行实验教学的能力及自觉性。而且，对现行的数学教学方法进行改革创新也是当前教学改革的一个重要组成部分。离散数学一直被当作理论数学一样来教学，这样的数学课程能否做实验?实验的内容又是什么?离散数学的实验素材也不能等同于物理、化学、电子和机械等学科的实验素材，它的实验方式方法在计算机没有充分应用之前，也是难以想象及施行的。随着计算机科学技术的飞速发展以及应用的越来越广泛、深入，提供了越来越多数学实验所需要的软硬件资源。使包括离散数学在内的数学的计算机实验日益成为数学教学过程中越来越重要的组成部分。

《离散数学》是高等院校计算机专业中的一门重要的专业基础课程，如何培养学生的学习兴趣、锻炼学生的实践能力和创新能力，为学习后续课程打下坚实基础，是我们改革教学方法和手段、提高教学水平过程中必须考虑的重要内容。为此，很有必要在《离散教学》课程教学中增加用于计算机数学实验或演示教学的学时，帮助学生理解和掌握高等数学的理论知识，掌握至少一种数学应用软件的使用，并通过一定的数学应用范例的教学来培养和提高学生应用所学知识分析问题、解决问题的能力。

二、离散数学实验教学的方法

为了改变离散数学教学中的上述状况，培养学生自主分析问题、解决问题的能力，同时也加深他们对该课程在专业教学中地位的理解和认识，在离散数学的教学过程中，我们尝试了以课堂教学为主，适当增加上机实验题目的教学模式。对于上机实验内容的选择，我们应该既要考虑到典型方法和基本技术，也要充分体现“基本概念、基本理论、基本技能”的三基原则。例如，我们设计了一个如下样式的上机实验内容。

(一)实验软件的选择

从我校的教学实践来看，《离散数学》课程在大二上学期开设，这个时候，学生已经学习了C语言，有初步的程序设计能力，也在学习高等数学的时候接触过数学软件Maflab。所以实验主要以c语言以及Madab的M文件这两种程序设计方法，软件选用的是Visual C++6.0和Mafiab 6.5。

(二)实验内容

目前《离散数学》的教学内容主要包含四部分，即：数理逻辑、集合论、代数结构和图论。若是对所有的知识点都设计实验教学，是不大现实的。另外由于学生学习程序设计不久，对一些高难度的编程还不能胜任，为了使得各种层次的学生都学有所得，难度要适宜，为此应认真设置实验内容。

离散数学实验的内容可以考虑以下几个方面，一是基础实验，依据离散数学的基本教学内容，让学生使用计算机来实现简单的计算发现，加深对概念的理解；二是专题实验，以离散数学中的某些问题作专门的探讨，可涉及有一定难度的证明与计算，如形式化证明，欧拉图与中国邮路问题，哈密尔顿图与旅行商人问题；三是综合实验，设计综合实际问题，可作为课程综合设计，以培养学生的综合分析问题解决问题的能力，并以课程设计报告的形式加以完成整个过程。

(三)实验方法

实验的方法可以采取多种形式，并不局限与学生在实验室做实验这样一种方式。比如：(1)教师实验演示，(2)学生做实验；(3)学生运行由老师提供的实验程序(软件)；(4)学生对老师提供的基本完成的程序进行修改，然后完成实验；(5)课后学生实验小组完成；(6)网上实验。

(四)实验过程

离散数学实验教学的实验教学通常采取由教师或学生结合课程教学内容及教学进度提出的问题，让学生在计算机上利用程序设计语言或数学工具软件下独立完成实验，也可以以实验小组的形式合作完成实验。

实验的过程应该充分考虑到内容的难易度，实验实例的选择应当考虑如下几个方面：

1　有相当的基础题，离散数学课程是计算机专业的数学基础课，作为专业的先导课程，一般在大学一、二年级开设，学生所学的专业知识还不是很深，实验所用的数学知识与计算机知识应该是学生已基本掌握的，所以所选实验实例涉及到的知识不能太深，要使得学生在做实验时是能够较为容易完成的。

2　实验题材要广，尽量设计实验包含课程的各方面的题材，将使学生更全面完整的了解和掌握所学的知识，广泛的实验实例使学生更加深刻的理解离散数学。

3　有生动的实际实例，设计一些生动有趣的实例，有利于提高学生的学习兴趣，能引导学生自觉思考问题解决问题，开拓学生思维视野，比如象哥尼斯堡七桥问题、苏哥拉底三段论、土耳其商人和帽子的故事、一笔画问题、地图染色问题等等。

4　充分考虑到与后续课程的联系，离散数学作为专业基础课，是计算机学科的理论基础，设计与后续课程紧密联系的实验，从而为以后的学习打下坚实的基础。

三、结束语

离散数学范文第9篇

关键词：研究性教学；“离散数学”；教学效果

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）30-0093-02

一、引言

“离散数学”是计算机科学与技术相关专业的一门核心专业基础课，它主要研究描述离散量和离散结构的工具及方法，其内容主要包括数理逻辑、集合论、代数结构和图论等四部分。“离散数学”的教学内容在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，可以说没有“离散数学”就没有计算机理论，也就没有计算机科学[1，2]。如何提高“离散数学”课程的教学效果一直是从事计算机科学与技术教育的教师们普遍关注的重点。本文基于研究性教学的思路，对“离散数学”课程的教学和考核方式改革进行了研究。在该课程的研究性教学过程中，通过案例教学将课堂所学知识和实际应用紧密联系起来，采用分组协作、课堂讨论等方式使学生加深了对所学知识的理解和掌握，并结合具体实例生动地说明了所学知识在后续课程及实际中的应用，较好地激发了学生的学习兴趣，增强了学生学习的主动性和积极性。

二、课程特点与现状分析

“离散数学”课程研究不同对象背景下离散量各自的结构、规律及相互关系，与计算机专业课程体系中其他基础主干课相比，该课程具有以下特点[3，4]：（1）定义多、定理多、性质多、概念抽象，形式化程度高，理解困难，很多学生感觉这是一门数学理论课，与计算机的关系不大，因此不重视。（2）概念逻辑严密、理论之间衔接密切、定理和相关性质证明的方法性很强，学生理不清头绪。（3）结构较为松散、内容相对驳杂，距离实际应用较远。对于还没有学过专业课程的一二年级学生来说，不理解学这门课的目的。因此，本文从研究性教学的理念出发，对“离散数学”课程的教学方法进行了研究，探讨了该课程开展研究性教学的基本思路和具体实施方案。

三、研究性教学改革与实践

1.研究性教学理念。研究性教学是目前高等教育教学研究的一个热点方向[5]，它是一种教师指导下的以学生为主体的自主学习和实践过程，包含了教与学两个方面：前者以教师为主导，教师在课堂教学中创设一种类似科学研究的情景或途径，把凝结在知识点背后的思想、方法和创新过程揭示出来，在引导学生学习和掌握新知识的同时，又能让学生受到知识创新和科学研究方法的熏陶和训练；后者指学生在教师指导下，以科学研究的方式查阅资料、搜集信息，并通过分组协作和讨论来完成指定项目或问题的一种主动的、独创性的学习活动[6]。在研究性教学的过程中，需要充分发挥同伴学习、小组学习、讨论和实践等主动学习模式的作用，使学生真正感觉到自己的心灵受到启迪，视野得到开阔，疑惑得到释解，有一种由衷的成就感和满足感，从而对完成一些更具有挑战性的学习任务和工作充满自信和动力。

2.教学改革的目标。该课程的教学改革以研究性教学为理念，知识、能力和素质并重，以增强学生学习兴趣和培养学生应用所学知识解决实际问题的能力为主线展开。通过该课程的学习，要求学生要理解命题和谓词逻辑、集合论、关系、函数、代数系统及图论等“离散数学”中的一些基本概念和原理，掌握计算机信息处理所必须的形式化描述工具和公式化推导及证明的方法。同时，通过该课程的学习逐步培养学生的抽象思维以及缜密概括和逻辑推理的能力，从而使学生具有良好的专业理论素养，并能运用所学知识具体分析和解决实际应用中的问题。

3.研究性教学改革的实施方案。（1）对教学内容进行精简和凝练，突出重点和难点。“离散数学”课程表面上内容很多，知识点比较散乱，但其实各章之间联系是非常紧密的。除图论相对比较独立之外，其他各章内容应该说是一环套一环，环环相扣、步步为营的。因此，在“离散数学”的课堂教学过程中，教师要积极引导和帮助学生搞清课程各章内容之间的内在联系，从而使学生构建起一个相互衔接的、完整的知识体系。（2）精选和构造能够覆盖课程主要知识点的综合性较强、趣味性浓的案例。案例教学法是一种注重师生互动的有效的研究性教学方法，设计能够反映课程内容并具有较强综合性、趣味性的案例，是组织好研究性教学的关键。通过精心选择和设置一些具有较强趣味性和一定实际意义的题目，不仅能较好地激发学生学习的积极性和热情，也能引导他们去解决一些更难的、更深层次的问题，从而培养学生养成探究性的学习习惯，形成知识迁移的能力。在本课程的研究性教学中，精选和设计了“投票表决数字电路设计”、“警察破案推理”、“勘探矿样推断”、“煤气管道铺设”等16个题目作为研究性教学的案例。这些问题需要用到数理逻辑、图论等“离散数学”的基础知识，并能结合实际对所需知识进行深化及拓展，其中一些问题还可让学生编程解决。（3）对设计的案例进行分组协作求解和讨论。针对案例问题，对学生进行了分组，让每组学生独立完成所有的题目。课堂上共安排了6个学时进行分组汇报和讨论，由任课教师和其他同学进行点评和质疑。通过这些案例的宣讲和研讨，使学生真正由“学会”变为“会学”，这才是研究性教学的根本所在。（4）安排习题课并辅助一定的课堂练习，重点检查阶段课堂学习情况和课堂教学效果。在本课程的学习中，教师需要认真、合理地选择一定数量的、具有不同深度层次和代表性的习题让学生课下去完成，同时也要适当增加一些复杂性和综合性较高的选做题目供有余力的学生完成。另外，为了检验学生的练习效果和帮助学生解决疑难问题，还需要安排一定学时的习题课进行讲解和答疑。（5）全面的过程管理及考核。考试是检验教学效果的重要手段之一，也是教学过程中的重要环节。本课程在教学改革中，采用了综合性的、全程性的过程管理及考核。其中，学生各阶段考核的成绩在最终成绩中的分配比例如下：考勤占10%；阶段考试2次，每次各占10%；案例宣讲、讨论占30%；期末考试占40%。

4.研究性教学效果分析。（1）通过研究性教学改革，较好地激发了学生的学习兴趣，极少出现缺课的情况；课堂表现积极，案例汇报和讨论非常踊跃，取得了良好的教学效果；学生反馈意见也表明同学们对这种研究性教学方式非常认可。（2）通过设计不同的讨论性课题及案例，使学生比较生动地理解了“离散数学”课程的知识点和在日常生产、生活及后续学习中的意义；同时，通过这些难度和综合性较高的题目，较好地提升了学生的知识掌握情况，也满足了部分能力较强学生的学习需要。（3）通过研讨式教学，同学们在PPT汇报及同学、教师的质疑、补充中加强了对知识的理解。这种研讨式教学过程，不仅使学生的学习充满了乐趣，同时也能很好地培养他们的口头宣讲和表达能力。

四、结语

通过开展“离散数学”课程的研究性教学改革，不仅较好地激发了学生学习的兴趣，更重要的是使学生深刻认识和领会到，严谨的逻辑思维和高度的抽象思维及形式化表示在计算机科学发展及应用计算机求解一些复杂的深层次问题中的作用。通过综合的对充满趣味性案例的研讨，激发了学生学习的兴趣和信息。同时，在与学生的互动和讨论中，也不断提高了教师自身的教学水平和对课程内容理解的层次和深度，真正实现了教学相长。

参考文献：

[1]周晓聪，乔海燕.面向思维能力培养的离散数学课程教学研究[J].计算机教育，2015，（15）：27-30.

[2]莫愿斌.凸显计算机专业特色的离散数学教学研究与实践[J].计算机教育，2010，（14）：111-113.

[3]刘铎.离散数学结构课程研究性教学改革初探[J].计算机教育，2012，（24）：41-44.

[4]徐六通，杨娟，吴斌.离散数学及其应用[M].北京：机械工业出版社，2015.

[5]辛志成.试论研究性教学在高校教学中的实施[J].教育理论与实践，2007，（27）：46-47.

离散数学范文第10篇

关键词：计算思维；离散数学；教学方法；抽象；自动化

计算思维是卡内基梅隆大学计算机科学系主任Jeannette M. Wing教授在2006年提出的教育理念[1]，被认为是近十年来产生的最具有基础性、长期性的重要思想[2]。Wing教授认为计算思维不仅仅属于计算机科学家，还应该和阅读、写作和算术一样，成为21世纪每个人必须具备的基本技能。

计算思维的概念一经提出就引起了国内外科学界和教育界的广泛关注。科学界主要关注于计算思维如何深刻影响其他领域的思考方式，进而如何促进其他领域的创新能力。例如美国国家科学基金会于2008年启动了以计算思维为核心的重大基础研究计划“计算使能的科学发现与技术创新”，旨在通过计算思维领域的创新和进步来促进自然科学和工程技术领域产生革命性的成果。教育界主要关注于对计算思维能力的培养。例如ACM和IEEE-CS在修订后的计算机科学教程2008(Computer Science Curriculum 2008)[3]79-84中明确指出应该将计算思维作为计算机科学教学的重要组成部分。

计算思维对计算机专业的人才培养提出了新的要求。针对计算思维培养问题，文献[4]介绍了普渡大学开设计算思维导论课程取得的经验。文献[5]对以计算思维为基础和以学科思想与方法为基础的两类计算机导论课程进行了分析比较。文献[6]探讨了如何在程序设计课程中强化学生的计算思维能力。文献[7]和文献[8]分别探讨了如何在编译原理课程和人工智能课程中培养学生的计算思维能力。

离散数学是计算机专业的核心基础课程；该课程不仅为数据结构、编译原理、操作系统、数据库原理、人工智能等专业课程提供必须的基础知识，更是对培养学生的抽象思维能力和逻辑思维能力起着重要作用。因此，针对培养学生的计算思维能力这个新的目标，抓好离散数学课程的教学显得尤其重要。本文首先对计算思维培养与离散数学教学之间的内在关系进行分析，然后通过若干案例探讨如何在离散数学教学中加强对计算思维能力的培养。

1计算思维培养与离散数学教学

在探讨对计算思维能力的培养之前我们需要明确什么是计算思维。根据Cuny、Snyder和Wing等的定义[9]，计算思维是指对问题及其解决方案进行阐释进而将解决方案表示成可以被信息处理(information-processing agent)有效实现的形式的思维过程。从这个定义可以看出，计算思维最本质的内容是抽象和自动化；而这两个内容恰好反映了计算的根本问题，即什么能被有效地自动进行。

从外延的角度来看，计算思维运用计算机科学的基本概念来求解问题、设计系统和理解人类行为，包括了一系列广泛的计算机科学的思维方法[1]。例如，计算思维通过约简、嵌入、转化、仿真等方法，把一个看起来困难的问题重新阐释成一个我们知道如何解决的问题；计算思维采用抽象和分解来迎接庞杂的任务；计算思维选择合适的表示方式来陈述一个问题或者对问题的相关方面进行建模，从而使问题易于处理；计算思维通过冗余、容错、纠错等方法来预防、检测或者从最坏的情况恢复系统；计算思维在时间与空间，处理能力与存储容量等之间进行折中，计算思维进行递归思考等等。

根据Jeannette M. Wing等的设想[9]，一个人具备计算思维能力之后将体现在以下方面：给定一个问题，能够理解其哪些方面是可以计算的；能够对计算工具或技术与需要解决的问题之间的匹配程度进行评估，能够理解计算工具和技术所具有的能力和局限性；能够将计算工具和技术用于解决新的问题；能够识别出使用新的计算方式的机会；能够在任何领域应用诸如分而治之等计算策略。此外，对于科学家、工程师以及其他专业人士来说，具备计算思维能力之后还应该能够应用新的计算方法来解决具体的专业问题，能够对问题进行重新阐释从而可以采用计算策略，能够通过分析大型的数据从而得到新的科学发现，能够提出之前没有想过或者由于问题的规模不敢提出但采用计算的方式容易处理的问题，能够应用计算的术语对问题及其解决方案进行解释等等。

基于以上分析我们认为，为了培养学生的计算思维能力，最为关键的是抓住抽象和自动化这两个核心内容。而对于计算机专业的学生来说，抽象和自动化这两个核心内容更具体地体现为如何构建各种层次的计算环境以及如何在这种环境下进行问题求解。此外，我们还需要提炼出计算机学科的基本概念和思维方法，在教学过程中有意识地强化学生对这些基本概念和思维方法的理解和掌握。实际上，对计算机学科的基本概念和思维方法的梳理已经得到了国内外教育者的重视；在ACM和IEEE-CS联合攻关组制订的计算教程CC1991(Computing Curricula 1991)中已经提取出了计算机学科的12个核心概念[10]，包括：概念化和形式化模型、大问题的复杂性、抽象层次、折中和结论、一致性和完备性、效率、演化、按空间排序、按时间排序、重用、安全性、以及绑定等。这些概念反映了计算机学科最核心的思想、方法和原则，我们应该在教学过程中不断强化学生对这些概念的理解和掌握。

作为计算机专业课程体系中的核心课程，离散数学具有内容多、概念多、理论性强、高度抽象等特点，被普遍认为是一门既难教又难学的课程。首先，该课程由数理逻辑、集合论、代数结构、图论等多个彼此独立的数学分支组成；这些内容自成体系，很容易让学生觉得各部分内容联系不大，进而使得学生对课程学习的目的不明确。其次，该课程每部分都包含大量以字母、符号、图形等形式呈现出来的抽象概念，使得学生在短时间内难以适应由大量抽象概念建立起来的理论体系，往往会茫然不知所措。最后，学生在学习该课程时认识不到这门课程的重要性，觉得这门课程与计算机科学联系不起来，看不到离散数学知识在计算机科学中的具体应用，从而缺乏相应的学习兴趣。

计算思维为我们提供了一种重新审视离散数学的视角。从计算思维的角度来看，虽然离散数学由多个相对独立的内容组成，但这些内容的教学目的其实是高度统一的，即：训练学生运用离散结构构建问题的抽象模型并在其基础上构造算法和解决问题的能力；而根据上文的分析，这种能力恰好就是计算思维能力的核心所在。因此，一方面，离散数学课程为我们培养学生的计算思维能力提供了一个很好的平台。另一方面，我们可以从计算思维这个层面来梳理和组织离散数学的教学内容，从计算思维这个高度来进行离散数学教学。

2面向计算思维的离散数学教学

计算思维可以贯穿于离散数学课程的整个教学过程。下面分别从课程引入和课程教学两个阶段探讨如何将离散数学教学与计算思维培养有机地结合起来。

2.1从计算思维出发的课程引入

在引入离散数学课程之前，首先要向学生指明：对计算思维能力的培养和训练是计算机专业教学的核心所在；大家在经过四年的大学学习之后，不仅要掌握计算机专业的相关知识，更为重要的是能够应用这些知识构建出各种层次的计算环境并在这些计算环境下进行问题求解。在此基础上可以进一步向学生阐述：电子计算机本身是一个离散结构，只能处理离散的或者离散化了的数量关系；因此，无论是计算机科学本身，还是与计算机密切相关的现代科学研究领域，都面临着如何运用离散结构建立模型或者如何将已用连续数量关系建立起来的模型离散化，从而可以由计算机加以处理和实现。

接下来，可以比较自然地引入离散数学课程，告诉学生该课程的目的是训练大家运用离散结构构建问题的抽象模型并在其基础上构造算法和解决问题的能力，而这种能力是计算机专业的学生具备计算思维能力的重要体现。

最后，还可以按照引入离散数学课程的常见方式，介绍该课程在ACM和IEEE-CS制定的计算机科学教程以及我国高等学校计算机科学与技术教学指导委员会制定的计算机专业规范中所处的核心地位；用一棵树形象地展示该课程在计算学科主要课程中处于树干位置的情形；以及分别列举出数理逻辑、集合论、代数结构、图论等内容在计算学科的相关课程和领域中的应用等等。

总的来说，从计算思维出发引入离散数学课程可以较好地达到以下目的。首先，能够让学生明白该课程的重要性，能够从整体上了解该课程在整个专业课程体系中所处的位置。其次，能够让学生明确学习该课程的目的，即训练运用离散结构构建问题的抽象模型并在其基础上构造算法和解决问题的能力；围绕这个学习目的，离散数学中的数理逻辑、集合论、代数结构、图论等内容形成了一个有机的体系。最后，能够纠正学生普遍存在的认为计算机专业就是学习编程的误解，让学生认识到通过离散数学等各门专业课程训练出来的计算思维能力才是大家应该具备的核心竞争力。在实现上述目标的基础上，一方面还可以让学生认识到离散数学课程为训练他们的计算思维能力提供和一个非常好的机会，从而激发他们对该课程的学习兴趣；另一方面还可以让他们提前认识到抽象和自动化将是贯穿该课程的两个主题，从而为接下来将要接触的大量抽象概念和符号做好心理准备。

2.2结合计算思维的课程教学

计算思维与离散数学课程教学的结合主要体现在两个方面：首先可以将抽象和自动化两个核心思想贯穿于整个教学过程，其次可以根据讲授的具体知识点适时地引入计算思维中其他基本概念和思维方法。下面分别从数理逻辑部分和图论部分挑选两个教学实例进行说明。

实例1：从计算思维的角度组织数理逻辑教学

对于数理逻辑部分，按照经典的教学方式，我们首先可以介绍莱布尼茨的理想，即把推理过程像数学一样利用公式来描述，建立直观而又精确的思维演算，从而得出正确的结论；形象地说，当两个人遇有争论时，双方可以拿起笔来说“让我们来算一下”，就可以很好地解决问题。为了实现这个理想，基本思路是首先引入一套符号体系，规定一些符号变换规则，然后借助这些符号和规则将逻辑推理过程在形式上变得像代数演算一样。

从计算思维的角度来看，上述基本思路的核心恰好就是抽象和自动化，即将双方争论的内容抽象成符号，将逻辑思维过程抽象成符号演算，进而可以借助工具实现逻辑推理。当学生建立起这种认识之后，我们比较自然地引入数理逻辑的基本概念，并且通过表1将离散数学中数理逻辑部分的学习内容展现出来，让学生对该部分的学习内容形成一个清晰、全面的认识。在接下来学习数理逻辑部分的每个章节时，我们可以反复呈现这张表，一方面可以帮助学生知道接下来的学习内容处于哪个位置，另一方面可以加深学生对抽象和自动化这两个核心思想的理解和掌握。

在表1列出的各个知识点中，对归结推理方法的教学往往被许多教材和老师忽略。但从计算思维的角度看，归结推理方法非常直观地体现了自动化这个核心思想，是离散数学中的一个重要知识点。学习了构造证明方法之后，学生一般会形成一个印象，觉得构造证明法使用起来简单方便，但使用过程中需要一定的观察能力或者需要一定的技巧。以学生的这种直观认识为基础，我们可以比较自然地引入归结推理方法，告诉学生这种方法容易用算法实现，易于在计算机上实现自动的推理证明。在接下来讲授了归结推理方法的基本原理之后，我们可以将这种方法以算法的形式呈现出来；在有条件的情况下，还可以让学生上机实现命题逻辑的归结推理算法等[11]。

在给出命题逻辑的归结推理算法之后，我们还可以对算法的可终止性、可靠性、完备性、复杂度等进行简单论述。与之相对应，在给出谓词逻辑的归结推理算法之后，可以告诉学生这个算法不一定会终止，即谓词逻辑本身是不可判定的。当学生理解了上述内容之后，我们可以进一步分析逻辑系统的表达能力与推理能力之间存在的矛盾关系，进而引入计算机科学中的“折中”这个核心概念，训练学生能够以解决问题为导向来选择合适的工具。

实例2：在欧拉图和哈密尔顿图教学中训练计算思维能力

对于图论部分，我们可以在一开始介绍图论的起源时就将计算思维的相关内容融入到课堂教学中。具体来说，在给出著名的哥尼斯堡七桥问题之后，可以向学生强调欧拉如何将桥的宽度、距离等无关的因素去掉，进而构建出一个抽象的以图的形式呈现的模型；接下来，可以让学生分析欧拉如何在图的基础上总结出三条判定规则，形成一套用来解决类似问题的可靠并且完备的理论；最后可以让学生体验如何应用欧拉建立的理论判断任何一个图中是否含有欧拉回路。上述三个阶段实际上体现了进行科学研究或者问题求解时采用的一般方法，同时也是计算思维的精髓所在。

在讲授完欧拉图的相关内容之后，可以类似地引入并讲授哈密尔顿图的相关内容，并且可以从问题的定义以及是否存在有效的判定方法等方面对这两个知识点进行比较和总结。在此基础上，我们可以通过一个单词排序问题来强化学生对计算思维能力的掌握。其中，对单词排序问题描述如下：假设有n个盘子，每个盘子上分别写着由小写字母组成的英文单词；需要给这些盘子安排一个合适的顺序，使得相邻两个盘子中前一个盘子上面单词的末字母与后一个盘子上面单词的首字母相同。针对这个问题，要求学生对其进行抽象后建立模型，并在此基础上给出该问题的解决方法，以及分析所给出的解决方法的复杂度。

对于上述单词排序问题，学生可能会给出两种抽象建模方法。第一种方法将每个单词作为图中的一个顶点；两个单词之间存在一条边当且仅当前一个单词的末字母与后一个单词的首字母相同。在此基础上，单词排序问题可以转换为寻找哈密尔顿路径的问题。第二种方法将26个小写字母作为图中的各个顶点；每个单词都对应于一条以其首字母为始点并且以其末字母为终点的边。在此基础上，单词排序问题可以转换为寻找欧拉路径的问题。对这两种方法进行分析后学生可以发现：第一种方法的复杂度为NP完全，而第二种方法的复杂度为多项式时间。总的来说，借助单词排序问题，不仅进一步训练了学生进行抽象建模和问题求解的能力，还将计算机科学中的复杂性、效率等核心概念融合进来，训练了学生对解决方案进行评估的能力。

限于篇幅，这里仅仅列举数理逻辑部分和图论部分的两个例子。其他典型例子还有：结合学生在小学和中学阶段学习的数学知识，对有理数四则混合运算、实数运算和复数运算等进行抽象后得到代数结构；利用等价关系对集合进行划分；利用偏序关系划分抽象层次等等。实际上，离散数学中基本上每个知识点都蕴含了抽象和自动化这两个核心思想以及计算思维中其他典型的基本概念和思维方法。将这些基本思想、概念和方法抽取出来并教授给学生，是我们授课教师的职责所在，但同时也对授课教师提出了挑战。要实现这个目标，要求授课教师不仅仅是照本宣科，不仅仅是以教会学生课本上的知识为目的，而是要能够从计算思维的高度来看待离散数学教学，要具备开阔的视野和广博的知识，要能够不断学习并且不断提升自己的知识和认知水平。

3结语