“高也成低也就”的概率

购物、办事、择业等最恼人的就是“高不成低不就”，但概率却是“高也成低也就”的一种重要数学分支.上至天文，下至地理；高至科学前沿，低至百姓琐事；难至地震和气象预报，易至街头摸彩等都要用到概率知识.大学里研究概率的高深理论，小学生当然不懂这些，但他们却也知道抛掷硬币时，正(或反)面朝上的可能性为0.5.街头骗人的摸彩游戏，精明的庄家(设奖者)不懂得概率，但他们为什么敢于允诺“若满足一定的条件，将重奖”？胆大的原因是他们凭直觉就知道这个“条件”几乎是不可能实现的，概率几乎为零，这样就保证庄家只赢不输，所以人们总结出“从南京到北京，买的没有卖的精”的宝贵经验，告诫人们别去上当受骗，你的“运气”永远没有庄家好.

一、 概率理论的发展有个曲折过程

摸彩其实也是一种，有意思的是概率理论竟起源于.17~18世纪，社会中的各种行为激发了数学家的灵感，他们以无比的热情和智慧投入对这些行为的研究，不断取得研究成果，揭露了许多行为的欺诈本质.后来科学巨匠伽利略对行为嗤之以鼻，转而研究高雅实用的问题，同样也取得了骄人的“战绩”，后被称为“使欧几里得几何相形见绌”的重大成果之一.

与所有科学和数学理论一样，概率理论的发展也是充满了“斗争”.开始形成的理论是很不完备的，遭到各方面的责难.但研究者不断探索、不断完善，最终形成了坚不可摧的且运用极其广泛的概率理论大厦.我们的数学学习又何尝不是如此，哦，历经艰险，克服万难，登顶一看，风光无限！

故有诗赞曰：枝梢雏凤人怜爱，虎跃龙腾成气派.忽如一夜春风来，千树万树梨花开！

二、 何来“概”率之称

数学最讲究严谨、缜密和精确，是比较忌讳“大概、差不多、也许、可能”等词语的，但为什么概率的名称中却有“概”这个似乎与数学理性精神相悖的字眼？抛掷硬币，虽然正(或反)面朝上的概率为0.5，但若只抛掷两次，就不能保证朝上的恰好是“一正一反”.所以就有了大数理论，即抛掷硬币的次数越多，一般来说正(或反)面朝上的次数与总抛掷次数之比就越接近于常数0.5.严格地说来，这个常数是概略的，甚至是“模糊”的，但不是有这样一句含义深刻的话吗？“最模糊的正是最精确的”，道出了“模糊”与“精确”的辩证关系.

设有事件A：射出的箭可能中靶，也可能不中靶；事件B：射出的箭打中月亮；事件C：射出的箭中靶.事件A是必然事件，其实是废话；事件B是不可能事件，也是废话；事件C则是随机事件，一般地，其概率P(C)∈(0，1)，最有研究价值的就是随机事件的概率.某人欲投资一个项目，须先进行风险评估，实质就是研究投资成功的概率.类似的实际问题很多，可见研究的实用性和重要性.

如今高科技已得到飞速发展，但地震和气象预报却是滞后的，水平再高、能力再强的地震和气象预报部门，也不敢说大话，承诺“我的预报绝对准确”，因为是“概”率啊！在人们没有找到更准确的预报方法之前，这种“概”率还是很起作用的哩！不过要说明的是，在高中数学中研究的概率，要比地震和气象预报准确得多，大可不必怀疑其巨大的实用价值.

三、 如何理顺各概率公式的关系

研究概率如果总是依靠大数理论，是不切实际的，所以人们创造了一整套简便易行的解决问题的方法，即产生了一系列概率公式，如果能将这些公式拴在一根“红绳”上，成为一个自然和谐、无须死记硬背的整体，那该多好哇！行啊！下面结合集合理论来理解，则更好玩.

(1) 随机事件的概率.设全集U与集合A，它们元素的个数分别记为n，m，在集合U中任取一个元素，则此元素在集合A中的概率为mn.在抛掷硬币“正面朝上”的游戏中，n=2， m=1，概率为12，就是这么简单，可应用范围可广了！

(2) 设全集U与集合A， B，它们元素的个数分别记为n， m， p，且A∩B=，在集合U中任取一个元素，则此元素在集合A∪B中的概率为m+pn.其实这是(1)的小拓展，公式m+pn的实质与公式mn别无二致.则在概率公式中，就有了P(A＋B)=P(A)＋P(B)，被称为加法公式.

(3) 设全集U与集合A，它们元素的个数分别记为n， m，在集合U中分两次分别任取一个元素，则此元素均在集合A中的概率为mn×mn=m2n2.究其实质，仍然与mn一致，不过m变成了m2， n变成了n2.则在概率公式中，就有了P(A・B)=P(A)P(B)，被称为乘法公式.

(4) 依概率的加法公式，有P(A＋)=P(A)＋P()，这里的叫做事件A的对立事件，若将A＋看作一个事件，则此事件为必然事件，既P(A＋)=1，若P(A)=p，则P()=1－p.用处可大哩！

(5) 集大成的一个概率公式.用一个具体的例子来说明，某人射箭，命中的概率为p，则依(4)，知没有命中的概率为1－p.

若某人射n支箭，求其中k(k≤n)次射中的概率.k次射中分布在n次中，为最简单的组合问题，知有Ckn种分布方式.依乘法公式，得pk.又有

n－k次没有射中，再依乘法公式，得(1－p)k.故所求概率为Cknpk(1－p)n－k.

非常有趣的是，若设射中的事件为A，则没有射中的事件为，那么事件A＋为必然事件，即P(A＋)=1，而事件A＋包含“n中0不中；n－1中1不中；n－2中2不中；…；k中n－k不中；n中0不中”几种情况，则有

Cnnpn(1－p)0+Cn－1npn－1(1－p)+…＋Cknpk(1－p)n－k＋…＋C0np0(1－p)n=［p+(1－p)］n=1.

竟然与二项式定理结上了缘，无怪乎公式Cknpk(1－p)n－k被称为概率的二项分布公式，知识之间的内在联系展示了数学的神奇和美妙，令我们叹服赞佩不已！不得不由衷地说：“数学，我爱你！”

当我们通过自己的努力理顺以上关系，构建出和谐统一的知识系统，那么所有公式就都成了我们的心中之物，想忘记都不可能，得心应手的运用还在话下吗？

四、 佳例解析试锋芒

例1 连续两次抛掷一枚骰子，分别得点数m， n，则方程x2m2+y2n2=1表示焦点在y轴上的椭圆的概率为 .

解析

方程共有6×6=36(个)，因为当m＜n时，椭圆的焦点在y轴上，所以这样的椭圆有5＋4＋3＋2＋1=15(个)，故所求概率为P=1536=512.

点睛

公式mn的简单应用，注意到“椭圆的焦点在y轴上”，即可万无一失.

例2 某批产品有7件正品，3件次品，每次取1件进行检测，取后不放回.记恰好取到第k次时，将3件次品全部取出的概率为f(k)，求f(k)的最小值与最大值.

解析

由题意，第k次取出的肯定是次品，那么前k－1次中有2次取出的是次品，

所以f(k)=C23Ck－37Ak－1k－1Ak10=(k－1)(k－2)240=1240［(k－32)2－14］ (3≤k≤10).

所以当k=3时，f(k)有最小值1120；当k=10时，f(k)有最大值310.

点睛

二次函数在闭区间上的最值问题是高中数学中的“重头戏”，将此问题巧妙地嵌入独立试验概率问题中，更显新颖独特.

例3 甲、乙、丙、丁四人相互传球，

先由甲传给另外三人中的

一人，接到球者再将球传给另外三人中的一人，求恰好在第4次又传

回到甲手中的概率.

解析

关键是求出公式mn中的分子m和分母n.易知n=34=81.如

何求m，难以用排列组合公式.借助于图1，一传有三条线，只要考察

其中的一条线就可以了.第三次甲传乙或丙或丁后，第四次都有传给甲的可能.又第二次乙传丙或丁后，由于第三次都有传给甲的可能，所以第四次传给甲的可能分别有2次.则知在第4次又传回到甲手中的有m=3×(3＋2＋2)=21(种)可能.

故所求概率为2181=727.

点睛

传球是学生非常熟悉的游戏，甲、乙、丙、丁四人传球最后又回到甲，有趣！又用了枚举法，但在操作时决不是盲目地简单计数，而要发现和应用规律，使操作更简捷流畅.

例4 某银行有一自动取款机，在某一时刻恰有n(n∈N)个人正在使用或等待使用该取款机的概率为p(n)，且p(n)与时刻t无关，统计得到

p(n)=(12)n・p(0), 0≤n≤5,0, n≥6，

求在某一时刻，这个取款机没有一个人正在使用或等待使用的概率.

解析

因为当n≥6时，p(n)=0，也就是说，当人数不小于6时，正在使用或等待使用该取款机的概率为0，那么当人数小于6时，正在使用或等待使用该取款机的概率之和为1，即p(0)＋p(1)＋p(2)＋p(3)＋p(4)＋p(5)=1，遂转换为p(0)1+12+122+…+125=p(0)・6332=1，

所以p(0)=3263，即没有一个人正在使用或等待使用的概率是3263.

点睛

提供的是一个崭新的实际问题情境，须深入阅读理解题意，善于将问题转化为概率模型，需要较强的应变能力.p(n)的表达式是一个分段函数，因为当n≥6时，p(n)=0，则判断∑5n=0p(n)=1就成了解决问题的突破口.数列求和与概率问题的巧妙结合使此题具有不同凡响的新意.

例5 假设每架飞机在飞行中每个引擎的故障率均为1－p，且各个引擎是否有故障是互相独立的，又若至少有50%的引擎能正常工作，飞机就可正常飞行.已知4引擎的飞机比2引擎的飞机飞行更安全，试求p的取值范围.

解析

4引擎的飞机安全飞行的概率为C24p2(1－p)2+C34p3(1－p)+C44p4=6p2(1－p)2＋4p3(1－p)＋p4.

2引擎的飞机安全飞行的概率为C12p(1－p)+C22p2=2p(1－p)+p2.

则由题意得6p2(1－p)2＋4p3(1－p)＋p4＞2p(1－p)＋p2，化得p(1－p)2(3p－2)＞0.

又0＜p＜1，故p的取值范围是23， 1.

点睛

求参数的取值范围也是数学问题的“重头戏”，构建关于此参数的不等式――目标不等式是解决问题的核心，利用关键词“更安全”可得此不等式.要注意先决条件0＜p＜1.