负相依下带常数利率模型的破产概率的保险计算

摘 要 本文研究了负相依索赔条件下带常数利率的风险模型在随机区间上的破产问题，最终得到了该模型破产概率的渐进表达式。

关键词 负相依 随机时间 破产概率

中图分类号：F224 文献标识码：A

Insurance Calculation of Bankruptcy Probability of Constant

Interest Rate Model under Dependent Negative

LI Mingqian

（City College， Wuhan University of Science and Technology， Wuhan， Hubei 430083）

Abstract This paper studies the risk model under conditions of constant interest rates negatively correlated claims in the bankruptcy issue random intervals， and finally get the asymptotic expression of the model the probability of bankruptcy.

Key words negative dependency； random interval； probability of bankruptcy

0 引言

我们考虑这样的风险模型。假设， = 1，2，…，是一列同分布的非负随机变量，是其分布函数； ， = 1，2，…为索赔到达时刻，它是一个齐次的强度为的泊松过程，即

（） = { = 1，2，…，≤}， ≥0

是表示到时刻为止的保险费，设（0） = 0。>0是常数利率，≥0是保险公司的初始资本。则到时刻为止，公司的盈余可表达为：

= + （）， ≥0 （1.1）

上式中假设， ， 是相互独立。

关于上述模型大多数学者都是假设索赔额为重尾分布的情况。Kl黳pelberg， C.， Stadtm黮ler， U[1]假设索赔额为类，研究出最终破产概率的渐近等价式。Asmussen， S[2]假设索赔服从重尾索赔分布的问题。Tang， Q [3]研究了索赔额为类情形下有限时间破产概率的问题，而Fanchao Kong，Gaofeng Zong [4]推广了文献[3]的结果，而本文在文献[4]的基础上，进一步研究在随机区间上的破产问题。

设为一随机变量，分布函数为，则定义随机区间上的破产概率 （，） = （

则易得

（，） = （

1 预备知识

定义：对每个和所有的，，…，，若满足

（1）（≤，…， ≤）≤（≤），则称随机变量序列{， = 1，2，…}下负相依。

（2）（≥，…， ≥）≤（≥），则称随机变量序列{， = 1，2，…}上负相依。

若上述两个条件都满足，则随机变量序列{， = 1，2，…}称相依。

引理：服从泊松分布，它的到达时刻为{ ，≥1}，对于给定的（） = 和任意固定的>0，随机向量（，，…）的分布与随机向量（，…）的分布是等价的，这里（，…）是个随机变量，…的顺序统计量。

重尾分布族的一些基本知识参见文献[4]。

2 主要结果及证明

定理2.1：考虑模型（1.1），若{， = 1，2，…}是相依的，其分布函数，>0，是满足类的实数，则破产概率的表达式为：

（，） （）（） （3.1）

推论：在定理2.1的结论下，假设时间服从参数为的指数分布，则破产概率的表达式为：

（，） （） （2.2）

定理的证明：根据（1.1）和（1.2）可得破产概率为：

（，） = （

上式进一步可得出：

（，）≤（ >） （2.3）

（，）≥（ > + ） （2.4）

（2.4）中 = （）

根据引理，（2.3）式右端可作如下变换

（ >）

分别对，作如下处理

≤（（）≥）≤ （2.5）

这里>，是常数。当时，（2.5）右端趋于0。

由于（≤≤1） = 1， = 1，2，…，则有

可得是有界的。根据（2.5）可将（2.3）化为

所以就有

（，）≤ （）（） （2.6）

函数是的分布函数，，根据（2.6）可知，所以当时，（2.3）式和（2.4）式右端比值趋于1。由此可得定理2.1得证。

推论的证明：因为服从参数为的指数分布，（2.1）可进一步简化为：

故推论得证。

参考文献

[1] Kl黳pelberg， C.， Stadtm黮ler， U. Ruin probabilities in the presence of heavy-tails and interest rates. Scand. Acturial J. 1998：49-58.

[2] Asmussen， S. et al. A local limit theorem for random walk maxima with heavy tails. Statist. Prob. Lett. 2002.56：399-404.

[3] Tang， Q.The finite-time ruin probability of the compound Poisson model with constant interest force. J. Appl. Prob. 2005.42：608-619.

[4] Fanchao Kong，Gaofeng Zong.， The finite-time ruin probability for ND claims with constant interest force.Statistics and Probability Letters .2008.78：3103-3109.