时间：2022-07-03 02:33:31
确定恒成立不等式中参数的取值范围，常灵活应用函数与不等式的基础知识在两者间进行合理的交汇，因此此类问题属学习的重点；然而，怎样确定恒成立不等式中参数的取值范围？课文中从未论及，但它却成为近年来高考中常见的题型，因此此类问题又属学习的热点；在确定恒成立不等式中参数的取值范围时，需要在函数思想与数形结合思想指引下，灵活地进行代数变换、综合地运用所学知识，方可取得较好的解题效果，因此此类问题的求解当属学习的难点，下面对此类问题的求解策略与方法作一总结。
一、不等式解集法：
不等式在集合A中恒成立等价于集合A是不等式解集B的子集；通过求不等式的解集并研究集合的关系便可求出参数的取值范围。
例1：已知| x- |
解： 由 |x- |
故正数α的取值范围为0
二、函数最值法：
己知函数f（x）的值域为[m，n]，f（x）≥a恒成立 恒成立即 ，据此，可将恒成立的不等式问题，转化成求函数的最大值或最小值问题，最值的处理常利用一次函数和二次函数的单调性来完成。
1.利用一次函数的单调性
一次函数f（x）=ax+b（a≠0），a>0时，f（x）在R上是增函数；a
解 且
，且
例2：若不等式2x-1>m（x2-1）对满足-2≤m≤2的一切m成立，求实数x的取值范围。
分析：若将原问题转化为集合[-2，2]是关于m的不等式（x2-1）m
解： 令f（m）=（x2-1）m-（2x-1），则f（m）
说明：在题设不等式中选用m为主元是解题要点
例3 ：己知p= （其中a为正常数），若当x在区间[1，2]内任意取值时，p的值恒为正，求b的取值范围。
解： 由己知p=
令
设函数f（u）= ，则
解得-1
当0
当 a>1时，
2.利用二次函数的单调性
设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a>0），其图象是开口向上的抛物线，在区间[ 上f（x）是增函数，在区间（-∞，- ）上f（x）是减函数，所以：f（x）>0在R上恒成立
f（x）>0在区间[m，n]上恒成立等价于①- > n且f（n）>0，或者②- < m且f（m）>0，或者③
例4：设f（x）= x2-2ax+2，当x∈[ 时，都有f（x）≥a成立，求实数a的取值范围
解： 设g（x）=f（x）-a=x2-2ax+2-a，则问题转化为：当x∈ [ 时，g（x） ≥0恒成立，
≤0或
即 4a2-4（2-a）≤0或
解得-2≤a ≤1或 -3≤a ≤-1
综合得： -3≤a ≤1
例5：若不等式x2-m（4xy-y2）+4m2y2≥0对一切非负数的x，y值恒成立，试求实数m的取值范围。
解： 若y=0，则原不等式恒成立；若 y≠0则原不等式可化为 令t= ，则t ≥0且g（t）=t2-4mt+m+4m2 ≥0.
问题转化为二次函数g（t）在区间 [0，+∞] 上的最小值非负，故有 2m
说明：二次函数的图象与性质是中学数学中的重点内容，利用二次函数在区间上的最值来研究恒成立问题，可使原本复杂的问题变得易于解决。
例6：若对于任意x∈（0，1） ，恒有2x2+（a+1）x-a（a-1）
分析：设二次函数f（x）=2x2+（a+1）x-a（a-1），其图象是开口朝上的抛物线，观察图象知，要对任意x ∈（0，1）恒有f（x）
解： 令f（x）= 2x2+（a+1）x-a（a-1）
对任意x∈（0，1）恒有f（x）
f（x） ≤0且f（1）≤0 即-a（a-1） ≤0且2+（a+1）-a（a-1）≤0
a ≤-1 或a≥3.
故所求a的取值范围是（-∞，-1]∪[3，
例7：设对所有实数 x，不等式 恒成立，求a的取值范围。
解：令 ，则 =3+t， =-t，
=2t，原不等式化为（3+t）x2-2tx+2t>0对于
恒成立。t =-3时，不等式不恒成立，则有 且 所以 即
说明：通过换元将复杂运算简单化了，该方法是十分常见且有效的。
三、参数分离法：
将参变元与主变元从恒不等式中分离，由在求函数最值时可避免繁冗的分类讨论，从而更好地实施“函数最值法”。
例8：若不等式 对一切正数x，y恒成立，求正数a的最小植。
解： 参数分离，a
a的最小值是3
例9：奇函数f（x）是R 上增函数，若不等式f（m.3x）+f（3x-9x-2）
解： f（x）为奇函数，原不等式等价于：f（m.3x）+
故所求m的取值范围为（-∞， ）
说明：（1）在求解本例时，若无分离参数的求简意识，则必转化为含参二次函数在区间上最值问题，不可避免地要进行分类讨论。
（2）若多数学问题通过代数变形后可转化为形如f（x）= ax+ 型函数的最值问题，其最值的求解通常用基本不等式或函数单调性来完成。
例10：己知f（x）= 在区间（0， ）内是增函数，求a的取值范围。
解： 设 0
即 恒成立
3asinx2-6sinx2cosx1
即a（sinx1-sinx2）>2sin（x1- x2）
而
即
若a+2=0，即a=-2，上式成立；
若a+2>0，由 > 恒成立，得 0
-2
若a+2
a
综上，a的取值范围是（
说明：函数f（x）在区间（0， ）内是增函数，则对任意x1， x2∈（0， ）不等式f（x1）G（x1，x2），求二元函数G（x1，x2）的最值，则f（a）≥G（x1，x2）max
四、数形结合
将恒成立的不等式问题，合理转化为一函数图象恒在另一函数图象的上（下）方，进而利用图形直观给出问题的巧解。
例11：若不等式3 |x+a|-2x+6>0 在R中恒成立，求实数a的取值范围。
解：尝试前述方法均较麻烦，而将原不等式变为 ，令f（x）= ，g（x）= ，作出它们的图象如右图所示，便有-a-3，所求范围为
例12：当 时， cos2 +2msin -2m-2
解 令x= sin
由题意得x2-2mx+2m+1>0在区间[0，1]上恒成立，即x2+1>2m（x-1） 在区间[0，1]上恒成立。
令函数f（x）=x2+1（0≤x≤1）， g（x）=2m（x-1），
如图f（x）的图象是抛物线弧AB，其端点为A（0，1），B（1，2）；g（x）的图象是过点C（1，0），斜率为2m的直线。
g（x）
综上所述，求恒成立不等式中参数的取值范围固然有四类彼此相联的思考方法，但是，只有在函数思想的指引下，树立数形结合与参数分离的求简意识，面对具体问题材进才能取得良好的解题效果。