从勾股定理应用课谈数学思想方法的渗透
时间：2022-07-01 09:14:38
现代教学观认为，教学过程中应着重发展学生的思维能力，提高他们的思维品质，必须让学生了解数学知识形成的过程，明确其产生的内外驱动力，在概念的确立，教学事实的发现，理论的推导，数学知识的运用中，数学思想方法是学习的灵魂.本文结合“勾股定理”的教学谈谈数学思想方法在课堂中的渗透.
【案例1】
师：（放幻灯片，逐一显示下面图形）.图1中的x等于多少？
生：2.
师：图2中的x，y，z分别是多少？
生：x，y，z分别是2，3，2.
师：如果沿着图2继续画直角三角形，还能得到哪
些无理数？
生：还能得到5，6，7……
师：利用图2你们能在数轴上画出表示5的点吗？
生：能！（让一名学生利用图2画出5）
师：怎样在数轴上画出表示-5的点？
生：以原点为圆心，以长为半径画弧交负半轴于一点，这点就表示-5.
师：在数轴上表示6，7，-6，-7的点怎样画出？
……
这个案例运用了数形结合的思想，用直角三角形三边的长度来研究直角三角形的边的性质，用作一个满足一定条件的直角三角形来构造一个带有根号的无理数，充分地体现了数形结合思想的应用.
数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.
【案例2】
如图3，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3.
（1）如图4，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？（不必证明）
（2）如图5，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个等边三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明.
解：设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a，b，c，则a2+b2=c2，
（1）S1=S2+S3.
（2）S1=S2+S3.证明如下：
显然，S1=34c2，
S2=34a2，
S3=34b2，
S2+S3=34a2+34b2=34（a2+b2）=34c2，
S1=34c2.
本题从特殊到一般，从已知到未知，类比勾股定理的探究过程，其关键就在于理解勾股定理.当然，学习了相似三角形的知识后，还可以继续探究：分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，上述结论是否还成立呢？
波利亚曾说过：“类比是一个伟大的引路人.”类比思想是数学学习的重要发现式思维，它是一种学习方法，同时也是一种非常重要的创造性思维.
【案例3】
师：在我们的生活中有一些有趣的问题：有一个边长为10尺的正方形水池，一棵芦苇AB生长在它中央，高出水面部分BC为1尺.如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边B′（如图6）.
问水深和芦苇长各是多少？
这个案例运用了转化和方程思想，题目本身是一个实际问题，要求出水深和芦苇的长是多少.怎样把水深和芦苇的长的计算这个实际问题转化为数学中的直角三角形问题来解决，学生是有困难的.教师在教学时注意引导学生用转化的数学思想，可通过设未知数转化为已知两条直角边求斜边的方程问题来解答.
有些几何问题表面上看起来与代数问题无关，但是要利用代数方法——列方程来解决，因此要善于挖掘隐含条件，要具有方程的思想意识.本案例中设芦苇长为x，AC的长就是芦苇的长减去高出水面的部分，还有一个隐含的已知条件——边长为10尺的正方形水池，一棵芦苇AB生长在它中央，所以BB′就是边长的一半，这样就可以利用勾股定理来解题了.
【案例4】
在直线l上依次摆放着七个正方形（如图7）.已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4= .
分析：本题不可能求出S1、S2、S3、S4的值，但我们可以利用三角形全等和勾股定理分别求出S1+S2、S2+S3、S3+S4的值.
解：易证RtABC≌RtCDE，AB=CD，
CD2+DE2=CE2，AB2=S3，CE2=3，DE2=S4，
S3+S4=3.
同理可得S1+S2=1，S2+S3=2，
S1+S2+S2+S3+S3+S4=6，
（S1+S2+S3+S4）+（S2+S3）=6，
S1+S2+S3+S4=4.
这个案例运用了整体思想，就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理.利用整体思想，不仅会使问题化繁为简，化难为易，而且有助于培养学生的创造性思维能力.
数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学学科的精髓，是将数学知识转化为数学能力的桥梁.类型化、机械化的练习只会阻碍学生的数学思维的发展，只有渗透数学思想方法，才能使学生正确地进行数学思考.
教学有三重境界：一是教知识；二是教方法；三是教思想.我们在平时的教学中应该及时地对数学思想方法进行挖掘、提炼、归纳和概括，这将有利于学生领悟数学的真谛，学会用数学的方法思考问题.
