台球运动中的数学知识

打台球是一种高雅的体育运动，很多人都非常喜欢.那些台球高手为什么表现得那样得心应手呢？其实数学知识为他们解决了一个又一个难题.下面举例说明打台球时用到的数学知识．

一、作一个角等于已知角

如图1，四边形ABCD是台球桌的桌面，按图中的箭头方向击打台球M，作出台球M撞击桌子边缘CD后的反弹方向．

分析：如图1所示，因为台球撞击桌子边缘CD时，入射方向EG与CD构成的夹角∠DGE和台球反弹方向与CD构成的夹角相等，所以以G为顶点、GC为一边，在桌子内部作∠FGC＝∠DGE，线段GF上的箭头方向就是台球M的反弹方向．

由上面的分析可以看出，台球桌的边缘对台球的反弹规律与平面镜对光线的反射规律相同.已知台球撞击桌子边缘的方向，要判断台球的反弹方向，可通过尺规作图作一个角等于已知角来实现．

二、轴对称的性质及对顶角相等

如图2是一张台球桌，桌上球M与球N之间有其它球阻隔，现在要打球M，经桌边AB、BC两次反弹后碰到球N，请画出球M行走的路线.

分析：如图2所示，假设球M行走的路线是MKRN，由台球桌的边缘对台球的反弹规律可知，只要∠MKF＝∠RKB与∠KRB＝∠NRH同时成立，假设的路线就正确.要保证这两对角相等可采用下面的作法：

（1） 作点M关于AB的对称点E、点N关于BC的对称点G；

（2） 连结EG，交AB于K，交BC于R；

（3） 连结MK、NR．

于是球M行走的路线就是：MKRN.

证明：点M与点E关于AB对称，

∠MKF＝∠EKF.

又∠EKF＝∠RKB，

∠MKF＝∠RKB.

同理可证∠KRB＝∠NRH.

所以球M行走的路线是：MKRN.

三、 直角三角形的两锐角互余、等角对等边及线段中点的概念

如图3，一个长240cm、宽200cm的台球桌周围有A、B、C、D、E、F六个小孔，其中E、F分别为BC、AD边的中点. 母球从A点出发，与AB边成45°角撞击BC边后，又以45°角弹出，再撞击CD边后仍以45°角弹出……这个过程继续进行，直到落入孔中，问母球最后落入哪个孔中？

分析：根据台球桌的边缘对台球的反弹规律，此题的结论可以直接通过准确的作图得到，也可以作出草图后结合计算得到.下面按后者予以解答.

解：如图3所示，画出母球在桌面上的反弹示意图，假设母球最后撞击在桌子边缘BC的E′处.

∠KAB＝45°，∠ABK＝90°，

∠AKB＝90°－45°＝45°，

AB＝BK＝200（cm），

KC＝BC－BK＝240－200＝40（cm）.

∠AKB＝∠MKC＝45°，∠KMC＝45°，

MC＝KC＝40（cm），

DM＝200－40＝160（cm），

DG＝ DM＝160（cm），

AG＝240－160＝80（cm），

AH＝ AG＝80（cm）.

HB＝E′B＝200－80＝120（cm）＝1/2BC.

点E′是BC的中点.

而点E也是BC的中点，点E′和点E重合.故母球最后落入E孔中.

四、 平行线的性质、等腰三角形三线合一的性质及直角三角形的边角关系

如图4，一个长240cm、宽200cm的台球桌周围有A、B、C、D、E、F六个小孔，其中E、F分别为BC、AD边的中点.球M与球N之间有球的阻隔，直线CN与AD相交于点G，且∠DCG＝20°．问怎样击打球M，经过桌子边缘BC和AD的反弹，可将球N击入C 孔中？

分析：如图4所示，假设球M 受力后经过图4中箭头的方向将球N击入C 孔中. 再根据台球与桌子边缘碰撞后的反弹规律及相关的数学知识可求出击打球M的方向与AD所成夹角的度数，最后证明击打球M的方向不会将球M击入E孔中．

解：由台球与桌子边缘碰撞后的反弹规律可知：

∠HKB＝∠GKC，∠HGK＝∠DGC．

又AD∥BC，

∠GHK＝∠HKB，∠GKC＝∠HGK.

∠GHK＝∠DGC.

又∠DGC＝90°－∠DCG＝90°－20°＝70°，

∠GHK＝70°，即击打球M的方向与AD成70°角.

易证GK＝GC，作GPBC，垂足为P，∠GCP＝90°－∠DCG＝90°－20°＝70°.

由等腰三角形三线合一的性质可得：KP＝CP.