反例教学法在高等数学教学中的应用

[摘要]反例教学法在高等数学教学实践中效果十分明显，且有着非常重要的作用。恰当地运用反例教学，有利于加深学生对基本概念的理解，使其更好地掌握基本定理，能够及时发现并有效地纠正习题中的错误，同时开拓学生的思维，培养学生的思维创新能力，引导学生多方面、多角度地思索问题，有助于提高教学效率和教学质量。本文探究了反例教学法在高等数学教学中的重要意义，分析并举例说明了反例在高等数学教学中的应用。

[关键词]反例教学法 高等数学教学 应用

[中图分类号]G72 [文献标识码]A [文章编号]1009-5349（2015）12-0191-01

一、反例教学法在高等数学教学中的重要意义

高等数学的反例是举出一个与命题的条件完全相同但是结论与命题矛盾的例子。进行反例教学，需要严密地证明正确的命题，再利用反例否定错误的命题。

（一）有利于学生深化理解基本概念

高等数学理论与方法以概念为基础。要想学好高等数学，应用数学知识来解决实际问题，必须要学会正确地理解概念的具体内涵。反例教学法有利于学生认识概念的本质，深化理解基本概念，理解概念的真正内涵。在引进一个新的概念时，教师可以通过几个合理的具体例子将高等数学概念具体化，这时，再适当地举几个反例，从反面理解概念，能深化学生对概念的掌握，教学效果也会大大提升。

（二）有利于学生理解并掌握基本定理

高等数学在教学中会运用大量的定理、性质及其具体应用。在讲解定理和性质时，教师要重点讲解定理、性质是在什么条件下成立的，准确理解其实质，掌握定理成立的结论，以便更好地进行推理、论证和应用。反例教学有利于学生深化理解并掌握基本定理和性质的本质，避免对概念的错误理解，以及不当运用定理和性质。

（三）有利于有效地纠正错误的命题

学生通过积累知识来学习更多，同时也不断地产生错误，错误不仅出现在理解概念、定理和性质的过程中，也会在具体解题的过程中出现。如果用反例来分析、辨析错误，不仅直观、明显，也更有说服力，这样，在发现学习中出现的错误和漏洞的同时也可以在反例教学中将相关的知识一起修补好，在发现各种错误后，剖析其产生的原因，让学生更加严谨地对待高等数学的学习，学生的思维也会更加严谨。

（四）有利于开拓学生思维，培养学生创新能力

在高等数学教学中应用反例教学法，有利于开拓学生的思维，培养学生的创新能力。鉴于构造反例的情形多种多样，这样就能从很多角度和多种途径举出反例，在此过程中不仅能培养学生不断探索、勤于进取的良好学习习惯，也能提高学生的数学素养和不断创新的能力。

二、反例教学法在高等数学教学中的应用

在高等数学教学中渗透反例教学法思想可以深化学生对概念、定理和性质的理解和掌握，加强学生学习高等数学的积极性和主动性，提高教学效率。

（一）恰当地构造反例，加深理解概念

应用反例教学法，首先教师要恰当地构造反例，加深学生对概念的理解和掌握。例如，在讲解高等数学中的极限概念时，构造一个恰当的反例就可以达到很好的效果。学生对于极限的一般认知中都会有这样的错误：有界函数的极限一定存在。教师可以构造反例：f（X）=sin（1/X），因为当X0时，f（X）不能无限接近于一个确定的常数A，因此，极限不存在，也就否定了有界函数的极限一定存在。

（二）正确地应用反例，深化理解定理

在高等数学的定理教学中，反例具有和证明一样重要的作用。一系列严谨的证明可以确定某一个命题的正确性，然而，一个合适的反例也可以证明某个命题的正确性，准确地运用反例，可以全面地掌握定理的相关条件和正确结论。例如，洛必达法则：设函数f（x）和F（x）满足下列条件：⑴xa时，lim f（x）=0，lim F（x）=0；⑵在点a的某去心邻域内f（x）与F（x）都可导，且F（x）的导数不等于0；⑶xa时，lim（f'（x）/F'（x））存在或为无穷大，则xa时，lim（f（x）/F（x））=lim（f'（x）/F'（x））。举个有符合洛必达法则而不能使用洛必达的反例，例如lim[x-->∞]√（1+x^2）/x=1，但是用洛必达法则求不出来。

（三）合理地利用反例，纠正错误命题

在高等数学的解题过程中，很难通过正面的思路将个别失误检查出来，但是，如果举个反例，就能将错误直观地反映出来，从而得到正确的答案。例如，在学习“可导必定连续”这一性质时，学生可能会错误地认为“偏导数存在也必定连续”。我们可以举反例来证明。如二元函数f（x，y） =xy/x^2+y^2 x，y≠0 =0 x，y=0 在（0，0）的偏导存在，但是不连续。

（四）学会创新，指导学生构造反例

俗话说：“授之以鱼不如授之以渔。”在高等数学反例教学中亦是如此。因此，我们不仅要让学生学会反例法，更要培养他们的反例思想，指导他们学会自己构造反例。例如，在学习函数极限的四则运算后，让学生自己构造相关的反例来证明定理的正确性，并互相交流分享。

三、结束语

在高等数学教学中，反例教学法应该引起教师的重视。合理恰当地应用反例进行教学，不仅可以激发学生的学习兴趣，深化学生对知识的掌握和了解，也可以让学生在反例中发现、分析自己的错误，培养良好的数学思维，从而提高其数学素养。