点关于圆的切点弦方程的探求

问题引入：

已知圆的方程是x2+y2=1，点M（1，2）在圆外，求点M关于圆的切点弦所在直线的方程。

问题解决：

方案一：通过先求切点坐标，再求所求方程。

解：设切点坐标为（x0，y0），则易知圆的切线方程为x0x+y0y=1.

切线过点（1，2），x0+2y0=1，又x02+y02=1求得切点坐标为（1，0），（-，）

点M关于圆的切点弦所在直线的方程为x+2y－1=0.

方案二：点M关于圆的切点弦可以看成是以OM为直径的圆与已知圆的公共弦。

解：由题意，以OM为直径的圆的方程为x（x－1）+y（y－2）=0，将它与圆的方程x2+y2=1联立，可得点M关于圆的切点弦所在直线的方程为x+2y－1=0.

方案三：借助于圆的切线方程，结合直线与方程的有关知识求解。

解：设切点为A（x1，y1）、B（x2，y2），则切线MA、MB的方程为：x1x+y1y=1，x2x+y2y=1，

又M（1，2）x1+2y1==1，x2+2y2=1，故A（x1，y1）、B（x2，y2）均在直线x+2y－1=0上，即点M关于圆的切点弦所在直线的方程为x+2y－1=0.

方案四：直接先求圆的切线方程，然后求切点坐标，再用两点式求直线的方程。

解：当k=0时，直线x=1显然满足题意，切点为（1，0）；

当k≠0时，设切线方程为y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0则d==1，故k=,所以切线方程为3x-4y+5=0，可求切点坐标为（-，），因此点M关于圆的切点弦所在直线的方程为x+2y－1=0.

一般结论：

已知圆的方程为x2+y2=r2，自圆外一点M（x0，y0）引圆的两条切线，切点的连线叫做点M（x0，y0）关于圆的切点弦，所在直线的方程是x0x+y0y=r2.

证明：切点为A（x1，y1）、B（x2，y2），则切线MA、MB的方程为：x1x+y1y=r2，x2x+y2y=r2，又M（x0，y0）x1x0+y1y0=r2，x2x0+y2y0=r2，故A（x1，y1）、B（x2，y2）均在直线x0x+y0y=r2上，即点M关于圆的切点弦所在直线的方程为x0x+y0y=r2.

回顾反思：

已知圆C的方程为x2+y2=r2，点M（x0，y0）在圆上，则易知切线方程为x0x+y0y=r2。由已知点M（x0，y0）在圆外，点M关于圆的切点弦所在直线的方程为x0x+y0y=r2.

这是偶然的巧合，还是必然的结果。

从运动的角度分析，点M（x0，y0）在圆外时，若圆C逐渐变大，并无限逼近点P时，两切线的张角逐渐增大，当点M（x0，y0）在圆上时，两切点、切线合二为一，即转化为过点M（x0，y0）的切线，也就是说，当两切线的切点变为一点时即为圆的切线。

通过问题的探究，我们从不同的角度，研究了点M关于圆的切点弦所在直线的方程，并且与x0x+y0y=r2进行类比，探究出偶然中的必然。这就是说，我们在学习中，要不断地总结、不断类比，不断培养探究创新的精神。

作者单位：江苏省盐城市时杨中学

本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文