一类随机利率下的个人纯保费及年金计算

【摘要】本文对利息强度采用反射Brown运动过程与Poisson过程联合建模，计算了该种随机利率下的个人纯保费和年金的公式，并进一步求出在UDD假定下的简洁公式。

【关键词】随机利率 反射Brown运动 Poisson过程 纯保费 年金

一、引言

近年来，保险精算研究中的利率随机性问题得到越来越多国内外学者的关注。Perry等将随机利率采用反射布朗运动建模；何文炯等采用高斯过程对随机利率建模；王丽燕等对随机利率采用反射布朗运动和泊松过程联合建模，建立了一个生死两全保险模型。

本文在前人研究工作的基础上，取反射布朗运动来刻画利率的连续变化，用泊松过程来叙述利率的跳跃变化，推出一般个人纯保费和年金的计算公式；并进一步得到UDD假定下的简洁计算公式。

二、随机利率模型

假定利息强度函数为：

y（t）=δt+β│B（t）│+γN（t）

其中│B（t）│是反射布朗运动，N（t）是泊松过程，δ、β、γ与t无关，均相互独立。

贴现函数为V（t）=e-y（t），即t时刻的1元钱现值为V（t）。可得

E（V（t））=E（e-y（t））=E（e-δt）E（e-β│B（t）│）E（e-γN（t））

三、个人纯保费及年金的计算

考虑年龄x岁且符合投保条件的个体（x），余命记为T（x）

连续型n年定期死亡险趸交纯保费

连续型终身死亡险趸交纯保费

连续型死亡两全保险趸交纯保费

延期h年的n年定期死亡险趸交纯保费

延期h年的终身死亡险趸交纯保费

延期h年的死亡两全保险趸交纯保费

标准年递增的终身寿险趸交纯保费

连续递增终身寿险趸交纯保费

标准年递减n年期寿险趸交纯保费

假设每一时刻的年金给付率为1，年金从个体x岁开始给付，个体余命记为T（x）

连续型终身生存年金

连续型n年定期生存年金

连续型延期h年终身生存年金

四、 UDD假定下个人纯保费及年金的计算

UDD假定，即在每一保单年度内死亡都是均匀发生的，将保期[0，n）平均分成n份，即[0，1），[1，2），…，[n-1，n），对任意t∈[k，k+1），k=0，1，…，n-1，T服从均匀分布，于是

其中，

若ιx表示数目为ι0个新生婴儿能活到x岁的期望人数，ndx表示ι0个新生婴儿在x岁到x+n岁之间死亡的期望人数，于是

注意到

（*）

其中，

将（*）式分别带入前面的公式，得

连续型n年定期死亡险趸交纯保费

连续型终身死亡险趸交纯保费

连续型死亡两全保险趸交纯保费

延期h年的n年定期死亡险趸交纯保费

延期h年的终身死亡险趸交纯保费

延期h年的死亡两全保险趸交纯保费

标准年递增终身寿险趸交纯保费

标准年连续递增的终身寿险趸交纯保费

标准年递减的n年定期终身寿险趸交纯保费

连续型终身生存年金

连续型n年定期生存年金

连续型延期h年终身生存年金

利用生命表即可进行计算。