一点三设化腐朽为神奇

每一份高考试卷都有一个与圆锥曲线相关的综合解答题,在这些试题中,由圆锥曲线上一个主运动点而产生有待解决的问题是主要类型. 若要把这些问题轻易解决,则如何设置这个主动点是需要一定水平和技巧的. 本文结合2009年高考数学福建卷第22题为例予以说明.

已知直线x-2y+2=0经过椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点A和上顶点D,椭圆C的右顶点为B,点S是椭圆C上位于x轴上方的动点,直线AS,BS与直线l:x=分别交于M,N两点.

(Ⅰ)求椭圆C的方程.

(Ⅱ)求线段MN的长度的最小值.

(Ⅲ)当线段MN的长度最小时,在椭圆C上是否存在这样的点T,使得TSB的面积为?若存在,确定点T的个数;若不存在,说明理由.

图1

解析(Ⅰ)椭圆C的方程为+y2=1.

(Ⅱ)如果站到高处来看这一问题,可以发现,若点S已知(或确定),则直线AS,BS,点M,N也已知(或确定). 又从“求线段MN的长度的最小值”这个问题可推理,需要去找一个主变量t,这个t的变化情况是清楚的,使得线段MN的长度MN可以表示为t的函数,然后求MN的最小值. 因此点S是关键的点(主动点),设定动点S是我们首先所想的,如何设定呢?从平时的经验来看,一般情况下有如下的思路.

其实,根据以往的经验,由于圆锥曲线既有普通方程,又有参数方程,上面的动点坐标设定时可以只含有一个参数,因此参数设置法应该是首选的. 从代数角度来看,参数设置法其实就是换元法,优点就是把一个点的横、纵坐标用一个参数来表达,从形式上简化了主动点的坐标表达;从转换与运算的角度来看也比较清楚、简单,解决的目标也变明确了. 因此,参数设置法是解决这类问题的主要方法.

不过,需要注意的是,换元后要注意新元(参数)的取值范围,必须在这个范围内解决问题. 同时也要看到,由于换元大多都与三角函数有关(或要转化为三角函数),而高考对三角函数内容的考查也在降低,我们对其掌握也不是很扎实,因此,换元后往往要走入“死胡同”里. 如下面,求t=(θ∈(0,π))的值域对于我们来说就是一个难点!

解法1由椭圆方程+y2=1,可以设点S的坐标为(2cosθ,sinθ)(θ∈(0,π)),则直线AS的方程为y=(x+2),所以M,•. 同理,得N,•. 所以MN=. 设t=,即3tsinθ+6cosθ=10,要使此式有意义,则≥10,即MN=t≥.

当t=时,θ=-arccos=arcsin,此时,对应的点S为,;

当t=-时,θ=-+arcsin,与θ∈(0,π)矛盾,故舍去.

所以,线段MN的长度取最小值,对应的点S为,.

我们现在用的圆锥曲线方程无非是普通方程或参数方程,普通方程既然有其“普通性”,那一定也有其应用的“广泛性”. 直接设置法也是常用的方法,特点就是设置x和y的坐标时简单,但使用起来麻烦,运用时要充分注意这个主动点所在曲线的性质,即x与y的制约关系,在接下来的转换与运算中,时时要注意这个制约关系,运用得好就能“出奇制胜”.

解法2设点S(x0,y0),M,yM,N,yN,且y>0,y

又因为MN=yM+(-yN)≥2•=,当且仅当yM=-yN=时等号成立. 所以,线段MN的长度取得最小值,对应的点S的坐标为,.

这里可以发现,如果直线AS确定了,那么点S也定了,因此,我们有时也可以对产生点S的“源头”进行设定,即采用间接设置法.

间接设置法的特点就是运算量大,但思路自然,操作简单. 不过,有时在“源头”中有多个“头”,即条件,这时就要选择适当、合理、清晰的条件进行设置. 有时这些“头”的地位是并列的,此时选择其中的一个进行设置即可. 如下面,我们也可以设直线BS的斜率为k(k

解法3由于直线AS的斜率k显然存在,且k>0,故可设直线AS的方程为y=k(x+2),从而M,.

由y=k(x+2),+y2=1得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0,且它的一个根为-2.

设S(x1,y1),则(-2)•x1=. 所以x1=,从而y1=,即S,. 又B(2,0),所以kBS=-.

由y=-(x-2),x=得

x=,y=-,

所以N,-.

故MN=+. 又k>0,所以MN=+≥2=.

当且仅当=,即k=时等号成立.

所以当k=时,线段MN的长度取得最小值.

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当线段MN的长度最小时,k=. 此时BS的方程为x+y-2=0,点S的坐标为,,BS=.

要使椭圆C上存在点T,使得TSB的面积等于,只需点T到直线BS的距离等于,所以T在平行于BS且与BS距离等于的直线l′上.

设直线l′:x+y+t=0,

则由=,解得t=-或t=-. 经检验,只有当t=-时,直线x+y-=0与椭圆有两个不同的交点. 所以,当线段MN的长度最小时,椭圆上仅存在两个不同的点T,使得TSB的面积等于.

注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文