由一道“错题”引发的思考
时间：2022-06-27 08:13:37
摘 要： 本文由一道练习题引出在解决古典概型问题时要首先考虑我们所构造的基本事件空间中的基本事件是否是等可能的，并讨论了如果不是等可能的应该如何构造等可能的基本事件的方法。
关键词： 古典概型 基本事件空间 等可能
在学完人教A版数学《必修3》古典概型后，练习中出现了这样一道练习题：
例1：据天气预报，在今后的三天中，每一天下雨的概率为40%，求这三天中恰有两天下雨的概率。
学生普遍采用下述解法：
若某一天下雨则用Y表示；若不下雨则用表示，因此基本事件空间为：
Ω={，Y，Y，Y，YY，YY，YY，YYY}
设事件A={三天中恰有两天下雨}，则事件A所包含的基本事件为：
YY，YY，YY
由古典概型概率计算公式得：P（A）=。
摘 要： 本文由一道练习题引出在解决古典概型问题时要首先考虑我们所构造的基本事件空间中的基本事件是否是等可能的，并讨论了如果不是等可能的应该如何构造等可能的基本事件的方法。
关键词： 古典概型 基本事件空间 等可能
在学完人教A版数学《必修3》古典概型后，练习中出现了这样一道练习题：
例1：据天气预报，在今后的三天中，每一天下雨的概率为40%，求这三天中恰有两天下雨的概率。
学生普遍采用下述解法：
若某一天下雨则用Y表示；若不下雨则用表示，因此基本事件空间为：
Ω={，Y，Y，Y，YY，YY，YY，YYY}
设事件A={三天中恰有两天下雨}，则事件A所包含的基本事件为：
YY，YY，YY
由古典概型概率计算公式得：P（A）=。
乍看之下这种解法似乎没有什么问题，但它忽略了一个重要问题：这是否为古典概型问题？也就是基本事件是否满足“有限、等可能”。问题中的基本事件“有限”是没有问题的，那是否是“等可能”的呢？在“每一天下雨的概率为40%”的前提下，基本事件显然不是等可能的，比如和Y。因此，这不是一个古典概型问题，学生在现有的知识下无法解决这个问题，所以这个题目是“错误”的。
若将此题中“每一天下雨的概率为40%”改为“每一天下雨的概率为50%”，那么上述解法就正确了。当然，原题利用独立重复试验的知识易得：P（A）=C0.4（1-0.4）=。
无独有偶，课本第134页B组第1题:
例2：某人有4把钥匙，其中2把能打开门。现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是多少？
学生大多采用下面的方法：
设4把钥匙为a、a、b、b，其中a、a是能打开门的钥匙，则：
Ω={a，a，ba，ba，ba，ba，bba，bba，bba，bba}
设事件A={第二次才能打开门}，则A所包含的基本事件为：
ba，ba，ba，ba
从而由古典概型概率计算公式得：P（A）==。
这种解法的问题与例1相同，也就是如此构造的基本事件空间中，基本事件发生的可能性不相同，比如a与ba，因此这不是一个古典概型问题，不能利用古典概型公式求解。
为了利用古典概型解决本题，我们可以构造“一次试验”：开两次门（不管第一次是否把门打开，都要试第二次）。因此，基本事件空间为：
Ω={aa，ab，ab，aa，ab，ab，ba，ba，bb，ba，ba，bb}
Ω中的每个基本事件发生的可能性都相同，因此是古典概型。设事件A={第二次才能打开门}，则A所包含的基本事件为：ba，ba，ba，ba。因此，由古典概型概率计算公式得：P（A）==。
在解决排列组合和概率问题时，列举法是一个好方法，但有时候，过于相信自己所列出的“所有情况”，也会导致出现上面问题的出现。
例3：设A={1，2，3}，B={2，3}，从A、B中各取1个元素作为直角坐标系中点的坐标，求点落在直线2x+3y-12=0上的概率。
学生的解法是这样的：
设事件C={点落在直线2x+3y-12=0上}，基本事件空间：
Ω={（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3）}，事件C所包含的基本事件为：（3，2），从而由古典概型概率计算公式：
P（C）=。
此解法与前面例1、例2出现的问题是一样的。由于题目没有要求A、B中哪个集合的元素作为横坐标或纵坐标，因此上述基本空间中点（1，2）与点（2，3）出现的可能性是不相同的，因此也它也不是一个古典概型问题，无法使用古典概型概率计算公式。
我们可以将集合A和B中的2，3区分开，然后列举出所有基本事件，构成下述基本事件空间：
Ω={（1，2），（1，3），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）}
则每个基本事件发生的可能性相同，从而它是古典概型。事件C所包含的基本事件为：（3，2）和（3，2），由古典概型概率计算公式得：
P（C）==。
由此可见，在用古典概型概率计算公式解决概率问题时，首先要判断我们所构造的模型是不是古典概型，也就是判断基本事件是否是“有限、等可能”的。如果基本事件不是等可能的，我们可以通过构造的方式将问题转化成古典概型问题，这样就万无一失了。
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