用代数方法解决平面几何问题

中图分类号：O1 文献标识码：A 文章编号：1007-0745（2014）01-0035-01

摘要：某些几何问题由于条件隐晦，技巧性处理难度较大。本文提出用代数的方法去解决此类平面几何问题，通过坐标系将几何条件转化为坐标的数量关系式，既可以避免添加过多的辅助线，又为解题提供了更为灵活的思路和途径，简捷明快，化难为易。

关键词：代数方法 坐标系 几何问题

在解几何问题时，解题者利用初等几何有关的定义、定理处理一般情况下还远远不够，需要添加一定的辅助线，并且发掘题中的隐含条件等高技巧的特殊方法进行处理。由于结题者往往把自己的思维局限在结合问题的单一的思维定势中，因而对于较复杂的几何题总是会推理论证思路不清，线索不明。

基于以上情况，本文提出一种全新的解题思路，即采用代数的方法来解决某些几何问题。在解题时，将有关的几何关系按照它们之间的联系用数量关系式表达后，通过建立直角坐标系或极坐标系转化为坐标形式加以解决，使解题的思路变得清晰简单，同时可以化难为易。

代数方法即平面解析的方法，是借助平面坐标系利用代数坐标来研究平面图形的性质。平面上建立坐标系（直角坐标系或极坐标系）后，点与有序实数对（a，b）建立了一一对应关系，平面内的点均可用坐标系表示出来，直线和圆分别对应与某确定的二元方程，从而平面图形的性质可以表示为图形上点的坐标之间的关系，特别是代数关系，以此实现几何问题与代数问题的相互转化。

据此，代数方法求解几何问题一般步骤为：

（1）选择恰当的坐标系，使题中某些点的坐标、直线等的方程呈较简单的代数表达形式.

（2）根据题目已知条件（必要时可以进行条件假设），运算求出相关的点的坐标以及直线的方程.

（3）从已知条件出发， 以求证的结论为目标，通过定理公式运算、推理出要证的结果。

1.建立合适的直角坐标系

例1 证明：三角形的三条高交于一点.

已知AD， EF， CF分别是ABC的三边上的高， 求证：AD，BE，CF相交于一点.

证明 如图1所示， 以BC边x为轴， BC边上的高AD为y轴建立直角坐标系.不防设A， B， C的坐标分别为A（0， a）B（b， 0）C（c，0）根据斜率公式得，KAB=- ， KCA=-，KBC=0 ， 又根据两直线垂直的充要条件及直线点斜式方程， 容易求出三条高所在的直线方程分别为AD：x=0， BE：cx-ay-bc=0， CF：bx-ay-bc=0.

这三个方程显然有公共解，x=0 ， y=-， 从而证明了三角形的三条高相交与一点。

例2 如图2， 在ABC中， ADBD于D， 且CD=AB+BD，求证∠ABC=2∠ACB.

证明 以BC， DA所在直线为坐标， 建立直角坐标系， 设A（0， ）， B（-b，0）， D（0，0）， 则

AB= 由CD=AB+BD得出C点坐标（b+ ，0）

故tan∠ABC=kAB=

又∠ABC及∠ACB均为锐角，

所以 ∠ABC=2∠ACB.

2.利用已知巧设参数

例3 M 为等腰ABC底边AC的中点，MHBC于H，P是MH的中点，求证：AHBP.

证明 如图3，以点M为原点建立直角坐标系，设AC=4，∠C=θ，则 A（-2，0），B（0，tanθ），H（2sin2θ，2sinθ·cosθ） ，故 P（sin2θ，sinθ·cosθ）则

故 AHBP.

3.选择合适的极坐标系

例4 在∠A内有一定点P，过P作直线交两边于B、C，问+何时取到最大值？

解：以点P为原点，如图4建立极坐标系，设∠C=α+β，PA=ρ0，∠APB=θ，故 B（ρB，θ），C（ρC，π+θ）则

==由上式可知，当θ=90°，即APBC时，+取到最大值。

综上所述，代数方法的关键在于通过建立合适的坐标系（直角坐标系或极坐标系），把原来的几何问题转化成了代数（坐标计算）问题.也就是借助于坐标系，在点、线与数组（方程）之间建立起对应关系，以此来实现几何问题代数化.

在运用解析法证明初等几何问题时，必须熟练掌握并善于使用在直角坐标（极坐标）下的有关公式、定理和方程，如两点间的距离公式、定比分点公式、直线的斜率公式等，将所求问题转化成数量化的坐标形式化难为易。