Bayes公式在一般风险型决策中的应用

设某种状态的先验概率(事先给出的各种状态的概率)为，通过调查获得的补充信息为，给定时，的条件概率为。则在给定信息的条件下，的条件概率，即后验概率（利用补充信息修正的概率），可用Bayes公式计算：

一般风险型决策中决策分析分为先验分析和后验分析。一般来说，只要补充信息是准确的，则后验分析的结论更为可靠。

案例分析：某水利工程公司拟对大江截流的施工工期作出决策。可供选择的方案有三种：一是在8月份施工；二是在9月份施工；三是在10月份施工。假定其他条件都具备，影响截流的主要因素是天气与水文状况。10月份的天气与水文状况可以保证截流成功。而8、9月份的天气与水文状况有两种可能。如果天气好，上游没有洪水，8月、9月底前截流成功，可使得整个工程的工期提前，从而能比10月施工分别增加利润1000万元、800万元；如果天气坏，上游出现洪水，截流失败，则比10月施工分别增加500万元、300万元的损失。根据以往经验，8、9月份好天气的可能性是0.7，天气坏的可能性是0.3。为了帮助决策，公司拟向气象站购买气象预报的资料。过去的资料表明，该气象站预报好天气的准确率是0.9，预报坏天气的准确率是0.7。请为该水利工程公司选择科学合适的决策方案。首先进行先验分析：两种方案在不同状态下的收益矩阵表为：（单位：万元）

三种方案的期望值分别为：

=0.7×1000+0.3(-500)=550(万元），

=0.7×800+0.3(-300)=470(万元），=0（万元），

则，按照期望值准则，方案最优。

单纯以期望值作为判断标准往往是不充分的，收益期望值所反映的只是一种平均趋势，在进行决策时还应考虑其离散程度。=0，可以从备选方案中排除。方案一和方案二的期望值虽有差别，但差别不是很大，所以再计算变异系数，帮助判断。

则，按照变异系数准则，方案最优。

完全信息价值与补充信息价值是利用Bayes公式进行决策分析的两个常用指标。其计算公式为：

是完全信息价值的期望值，表示各方案状态下的最大收益值，表示先验分析中的最佳方案在状态下的收益值。

=0.7×(1000-800)+0.3×(0+300)=230（万元）

此时完全信息价值的期望值比较高，这表明通过追加补充信息，有可能进一步提高决策的效益。

下面再进行后验分析：在现实经济生活中，一般很难获得完全信息。它们的价值通常低于完全信息价值。补充信息的价值VAI的计算公式为:

的取值与有密切联系，为了综合反映补充信息的价值，还需要计算补充信息价值的期望值:是出现的概率：。

是判断收集补充信息是否有利的基本标准。一般在收集补充信息之前，应将与收集补充信息的费用加以比较，只有当收集补充信息的费用小于时，平均来看，收集补充信息才有价值。

设发出天气好预报的补充信息为，发出天气坏预报的补充信息为，。下面利用Bayes公式对各种状态的概率进行修正，以得出更为可靠的决策方案：

利用后验概率计算进行后验分析可得：

=1000×0.875+(-500)×0.125=812.5(万元)，

800×0.875+(-300)×0.125=662.5(万元)，=0(万元)，

则，按照期望值准则，方案1最优。

利用后验概率，计算进行后验分析可得：

1000×0.25+(-500)×0.75=125(万元)，

800×0.25+(-300)×0.75=-25 (万元)，=0(万元)

则，按照期望值准则，方案最优。

发出天气好预报的后验完全信息价值：

后验

=0.875×(1000-1000)+0.125×[0-(-500)]=62.5(万元)

发出天气坏预报的后验完全信息价值：

后验

=0.25×(1000-0)+0.75×(0-0)=250(万元)

补充信息价值的期望值EVAI:

=230-62.5=167.5(万元)，=230 250=-20(万元)

=167.5×0.72+(-20)×0.28=115(万元)

从上面的分析可以得出合适的结论：为提高决策的效益，该水利工程公司应购买气象预报，以便更准确地把握气象水文状况。因EVAI=115(万元)，所以只要该项情报要价低于115(万元)，平均来看购买情报是有利的。如果气象预报天气好，则应在8月份施工，如果气象预报天气坏，则应在10月份施工。