参考答案(5)

1 解析几何与平面几何知识的融合？摇

1. 如图1，设ABC的内切圆与AB相切于点D，则D（3，0），所以AD=8，DB=2. CA-CB=AF+FC-（CE+BE）=AF-BE=AD-BD=6，所以动点C的轨迹是以A（-5，0），B（5，0）为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为■-■=1（x>3）. 故选B.

■

图1

2. 如图2，设AK=a. 则由抛物线的定义可知，AF=a，作ADx轴于D，由于∠AFD=60°且F（1，0），所以A1+■，■a. 因为点A在抛物线y2=4x上，所以有■a2=4+2a， 解得a=4，所以AD=2■，AKF的面积S=■AK・AD=4■. 选C.

2 解析几何与方程知识的融合

1. 直线方程为y=■x，则点c，■c在椭圆上，即■+■=1，化简得2a4-5a2c2+2c4=0，所以■=■，e=■.？摇？摇？摇

2. 设双曲线的方程为■-■=1，右焦点为F（c，0），其中a，b，c∈R+，c2=a2+b2. 设A（x1，y1），B（x2，y2），■=t（t>0）. 直线AB的方程为x=■y+c，由■x2-■y2=c2，x-■y■=c2■可得（1+t）x2-1+■y2=x2-2■xy+■y2，即■+■■■-2■■-t=0. 由于kOA・kOB=■■=-1，所以■+■-t=0，解得t=3，即b2=3a2，c=2a，故双曲线的方程为3x2-y2=3a2.把直线AB的方程x=■y+2a代入双曲线方程可得4y2+4■ay+9a2=0，所以（y1-y2）2=（y1+y2）2-4y1y2=6a2. 又因为AB2=（x1-x2）2+（y1-y2）2=■（y1-y2）2=16，所以（y1-y2）2=6=6a2，即a2=1，故双曲线的方程为x2-■=1.

3 解析几何与函数知识的融合

（1）容易得到椭圆的方程为■+y2=1. 设直线MA的斜率为k，则直线MB的斜率为-k，直线MA的方程为y-■=k（x+1），即y=k（x+1）+■，将其代入椭圆方程得[（x+1）-1]2+2k（x+1）？摇+■■=2，即（x+1）[（1+2k）2？摇・（x+1）？摇+2■k-2]=0，所以xA=-1+■，yA=■+■；同理可得，xB=-1+■，yB=■+■. 所以y■-y■=■，xA-xB=■，故kAB=■=■=-■（定值）.

（2）由（1）可知直线AB的斜率为-■，所以可设直线AB的方程为x=-■y+t. 作MN∥x轴交线段AB于N，则Nt-1，■，MN=t. 把x=-■y+t代入x2+2y2=2，可得4y2-2■ty+t2-2=0，故有y■+y■=■t，y■・y■=■（t2-2），所以可得y■-y■2=y■+y■2-4yAyB=■（4-t2），即y■-y■=■■. MAB的面积S=f（t）=■MNy■-y■=■・t■=■■≤■・■=■，由4-t2=t2可得t= ±■. 所以当t=±■时，MAB的面积S取最大值■.

4 解析几何与向量知识的融合

1. D

2. 设Q（x，y），■=-■=λ，λ≠-1，若λ=-1，则A为P，B的中点，这显然不可能. 由于A（x1，y1），B（x2，y2），P（4，1），所以4=■①，1=■②；x=■③，y=■④.

①×③得4x=■，②×④得y=■，又因为x■■+2y■■=8 ⑤，x■■+2y■■=8 ⑥.

⑤-⑥×λ2可得x■■-λ2x■■+2（y■■-λ2y■■）=8（1-λ2），即■+2・■=8，即2x+y=4. 由方程组2x+y=4，x2+2y2=8解得x=■或x=■. 因此所求Q点的轨迹方程为：2x+y=4■

5 解析几何与不等式知识的融合

1. 设PF1=u，PF2=v，则u=2a+v，S=■=■=v+■+4a≥2■+4a=8a. 由v=■得v=2a，由于v=PF2≥c-a，故c-a≤2a，e≤3，即e∈（1，3]. 故选D.

2. ①正确，a2+b2=（a2+b2）・■+■=x2+y2+■+■≥（x+y）2；

②正确，■+■=■+■・■+■=■+■+■+■≥■+■■；

③正确，■+■=■+■・■+■=1+1+■+■≥4；

④正确，1=■+■■+■=■+■+■+■≥■+■+2■=■+■■. 选D.

综合测试

1. B

2. D

3. B

4. 根据题意可设M■，y■，N■，y■，直线MN：x=ty+m，将直线代入抛物线方程得y2-2pty-2pm=0，则y1+y2=2pt，y1y2=-2pm. 又易知P0，■，且由■=λ■可得■，y■+■=λm-■，-y■，所以■=λm-■ ①，y■+■=λ（-y■）②，所以λ=-1-■. 同理μ=-1-■，所以得λ+μ=-2-■■+■=-2-■■=-2-■■=-1，故选C.

5. 由题意可得焦点F（1，0），设A■，y■，B■，y■，将■+2■+3■=0变形为■=■■+■■. 令■=■，即F是B与B′的中点，则有■=■■+■■. 因为■+■=1，所以O，B′，A三点共线，且■=2■，代入坐标得2y■+3y■=0 ①，2y■■+3y■■=24 ②，解得y■■=■，y■■=■. 又由①知y■，y■异号，所以y■y■=-■. 由直线AB：y-y1=■x-■，令y=0得x=-■=■，故选B.

6. 由题意，直线AB的斜率存在，故设其方程为y=kx+1 ①，当k=0时，y■=y■=1，所以■+■=2 ②；当k≠0时，将直线x=■代入x2=4y并整理得y2-（2+4k2）y+1=0，则■+■=■=2+4k2>2. 综合①②知■+■∈[2，+∞）.

7. 易知（PQ-PR）max=PQmax-PRmin，首先将P看做定点，则当Q，R运动时，PQmax=PC2■+1，PRmin=PC3■-1，故此时（PQ-PR）max=PC2■-PC3■+2. 然后将P还原为动点，观察发现C3，C2恰为双曲线C1的左、右焦点，即当P点在双曲线C1左支上运动时，PC2■-PC3■恒为双曲线实轴长2a=8，所以（PQ-PR）max=10.

8. 因为A，P，B三点共线，故m+n=1. 又mn=■，得m=■，n=■，即■=■■+■■，从而■=2■. 又易知Ac，■，Pc，■，Bc，-■，所以■=2・■，即3b=c，9b2=c2，又b2=c2-a2，所以8c2=9a2，所以e=■.

9. （1）因为点P，Q在抛物线C1：y=■x2-2上，所以可设其坐标为Pm，■-2，Qn，■-2. 由题意知A（0，-2），所以k■=■=■，k■=■=■. 由题意得■=-■，即mn=-4. 又易知k■=■（m+n），所以得直线PQ的方程为：y-■-2=■（m+n）（x-m），令x=0得y=t=■-2+■（m+n）（-m）=-2-■mn=-1，即所求t的值为-1.

（2）设M（x■，y■），N（x■，y■），由题意k=■（m+n），又由（1）可知PQ过点（0，-1），所以PQ的方程可写成y=■（m+n）x-1=kx-1，代入椭圆方程C2：■+x2=1得（4+k2）x2-2kx-3=0，x1+x2=■，x1x2=■，从而可得■+■=■+■=■+■=■=■=-k. 又k>0，从而■-■-■=■+k≥2（当且仅当k=1时等号成立），即当k=1时，得m+n=4，mn=-4，解得m=2-2■，或n=2+2■，■-■-■■=2.

10. （1）由■・■=0知，点M在以F1F2为直径的圆周上，又点M在椭圆上，所以此圆与椭圆有交点，所以b≤c，即1≤■，所以a2≥2，即amin=■.

（2）当a取最小值■时，椭圆方程为■+y2=1，点C（■，0）. 设直线CD的方程：y=k（x-■）（k≠0），则P点坐标为（0，-■k）. 联立直线与椭圆方程并消去y得（1+2k2）x2-4■k2x+4k2-2=0，由韦达定理得xCxD=■，又xC=■，所以xD=■. 联立直线BC：y=■（x-■），AD：y=■x+1，消去x同时代入y■=k（xD-■）得y■=■（■+■yQ）+1，又xD=■，所以可得y■=■（■+■y■）+1，从而解得y■=-■，所以■・■=（0，-■k）・（xQ，yQ）=-■k・yQ=（-■k）・-■=1（为定值）.

11. （1）设动点M（x，y），P（x1，y1），则Q（x1，0），所以■=（x1-x，-y），■=（0，-y■），故由■■=■得x1=x，y1=■y①. 又点P在圆x2+y2=2上，所以x■■+y■■=2②. 将①代入②即得动点M的轨迹C2的方程为■+y2=1.

（2）由题意设T（-2，t）（t∈R），则切点弦AB的方程为：-2x+ty=2，即y=■x+■. 代入C■得1+■x2+■x+■-2=0，即（t2+8）x2+16x+8-2t2=0，所以得CD=■・■=■. 又在圆C1中易求得AB=2■，所以■=■■・1+■. 令m=■∈[1，■），则■=■m（3-m2）. 令g（m）=m（3-m2）=3m-m3，求其导数得g′（m）=3-3m2，易知当m∈[1，■）时g′（m）≤0，故g（m）在[1，■）上单调递减，所以g（m）∈（g（■），g（1）]，又g（■）=■，g（1）=2，所以■∈（1，■].

12. （1）设M（x1，y1）（x1>1），N（x2，y2），直线l：y-2=k（x+1），由题意kAB= -■. 又ABl，所以k=2，故直线l：y-2=2（x+1），即y=2x+4. 联立y=2x+4，y=x2，■消去y得x2-2x-4=0，则x1+x2=2，x1x2=-4，故所求k1・k2=■・■=■・■=x1x2+（x1+x2）+1=-1.

（2）设点B到直线MN的距离为h，则■=■=■. 由弦长公式MA=■・x1-（-1）=■・（x■+1），同理NA=■・-1-x2，即■=■①. 联立直线l与抛物线方程并消去y，得x2-kx-（k+2）=0，所以x1=■，x2=■. 由x1>1及k≤1可得k∈-■，1，将x1，x2代入①，得■=■=■+1，可以判断■是关于k在-■，1上的增函数. 设■=f（k），则■∈f-■，f（1），而f-■=4，f（1）=■，所以■∈4，■. ■