基于MLPG法的动态断裂力学问题

摘 要： 利用无网格局部PetrovGalerkin（MLPG）方法分析了受瞬态载荷作用的动态断裂力学问题.采用移动最小二乘近似函数为试函数，并利用罚函数法施加本质边界条件.同时，利用纽马克法进行时间积分.最后求解了双缺口板尖端附近的应力场，以及Ⅰ型和Ⅱ型应力强度因子随时间的变化关系.算例表明：利用MLPG方法分析受瞬态常压力作用的动态断裂力学问题是可行的和有效的，且具有效率高和容易分析的特点.

关键词：局部PetrovGalerkin方法；动态断裂力学；移动最小二乘近似函数；纽马克法；应力强度因子

中图分类号： O346.11 文献标识码：AAn Analysis of the Dynamic Fracture Problem by

the Meshless Local PetrovGalerkin Method

结构和材料的动态断裂及其引发的后续破坏是对重大工程结构安全最具威胁性的失效形式之一.与材料和结构的静态或准静态行为不同，在冲击载荷作用下，脉冲载荷的高频模态将控制材料和结构的响应.此时应力波的传播和耗散，以及波在不同介质及表面上反射、透射和散射所引起的动应力集中等局部状态将对材料的破坏和失效起决定作用.

一般地，可通过理论分析或实验研究来得到关于材料及结构的冲击动力学行为.但是，冲击载荷作用下材料和结构变形的复杂性使得理论分析难以展开，而实验研究则需耗费大量资金、材料.近年来，计算科学的发展为复杂问题的研究提供了有效的手段.数值模拟被越来越多地应用于复杂介质在复杂载荷作用下的动力学响应的研究中.然而，在涉及超大变形、不连续边界的快速扩展、高速冲击、多相变等问题的研究中，传统的基于网格的算法的应用将受到局限.而冲击动力学问题正是以材料或结构体的大变形、不连续边界的快速移动（如裂纹快速扩展、激波等）以及大梯度场（如局部应力集中、剪切带、功能梯度材料本构造成的大梯度效应）等为特征，因此，开发适合于求解冲击动力学问题的数值算法已成为冲击动力学问题的一个重要的研究方向.

MLPG方法是近年来兴起的无网格方法的一种.这种方法只需要节点信息而不需要单元信息，不仅避免了繁琐的单元网格生成，而且提供了分析的连续性与灵活性，因此应用前景广阔.Atluri和Zhu[1]利用这种方法对Laplace方程、Poisson方程和势流问题进行了求解；Gu 和 Liu[2]应用纽马克法分析了梁的受迫振动问题；Organ等[3]分别将可视法、衍射法及透射法用于无网格法分析断裂力学问题中；龙述尧等[4-6]把局部PetrovGalerkin法应用于平面弹性力学问题与板弯曲问题.本文将这种方法用于求解动态断裂力学问题，并且将计算结果与有限元分析结果进行了对比.

湖南大学学报（自然科学版）2012年第11期龙述尧等：基于MLPG法的动态断裂力学问题1 弹性动力学问题的局部PetrovGalerkin

方程在二维域Ω内的弹性动力学问题的控制方程、初始条件和边界条件为：