基于整体变分的图像修复研究

摘要：图像修复是指对数字图像中丢失破损的部分进行还原，是一种很早出现的工艺技术。目前，图像修复技术有了巨大的发展。本文从基本理论、模型建立和数值计算方面介绍了基于总体变分的图像修复算法。

关键词：整体变分；图像修复

中图分类号：TP391 文献标识码：A文章编号：1007-9599 (2011) 17-0000-01

Total Variation Based Image Restoration Research

Zhang Yifan

(School of Software,Yunnan University,Kunming650001,China)

Abstract:Image restoration is a long process technology refers to the digital images restore of lost damaged parts.Currently,image restoration techniques has great development.In this paper,mainly introduce the image restoration of TV algorithm from the basic theory,numerical modeling.

Keywords:Total Variation;Image restoration

整体变分（Total Variation，TV）模型最先是由L.Rudin等人在1992年提出来的，当时是应用于图像的去噪。TV模型最大的优势就是能够克服线性滤波在抑制噪声的同时平滑图像边缘的缺点，保证不改变或锐化图像边缘。鉴于TV模型去噪算法的这些优点，T.Chan等人于2002年首次将该算法引入到图像修复领域，形成了TV模型图像修复算法。本章将详细介绍TV模型图像修复算法，分基本理论知识、模型建立、数值解法和实验数据分析这几个部分来介绍。

一、TV算法基本理论知识

TV图像修复问题是依据图像的先验知识和数据模型，建立能量泛函，求解所得该能量泛函的极值就是修复后的图像。由于变分法就是研究泛函的极大值和极小值问题，所以，TV图像修复问题可以看成变分问题。TV模型是基于PDE的图像修复模型，这是因为变分法研究泛函的极大值、极小值问题，跟用微分法研究函数的极大值、极小值问题有很多相似的地方。

二、TV模型建立

图像去噪是图像复原中的一个重要研究方面，它的关键在于去除噪声的同时，必须保持图像的重要特征，比如图像边缘。整体变分（TV）模型最初是为解决图像去噪问题而引入的，该方法能实现在去除图像噪声的同时保留图像的细节。整体变分去噪模型的成功在于利用了自然图像内在的正则性，易于从噪声图像的解中反映真实图像的几何正则性。L.Rudin的研究表明有噪声图像的总变分比无噪声图像的总变分明显地大，最小化总变分可以消除噪声。T.Chan等首次将整体变分算法应用于图像修复领域，取得了巨大的成功，整体变分图像修复算法的基本思想是将研究问题归结为一个泛函极小化问题，通过求解泛函的欧拉―拉格朗日方程，就可以得到使泛函取极值的驻函数，从而将变分问题转化为微分问题。通俗地说，利用TV模型进行图像修复可以看成寻找与待修复图像具有最小整体变分的图像。因此，我们可以将整体变分图像修复算法按以下几个步骤来，为：（1）从物理问题上建立能量泛函及其约束条件；（2）通过泛函变分，利用变分法求得欧拉―拉格朗日方程；（3）在边界条件下求解，即求解微分方程。

由于变分法和欧拉―拉格朗日方程是表示同一物理问题，所以，从欧拉―拉格朗日方程求解和从变分法直接求近似解所得结果是等效的。按照由变分法推导出能量泛函的欧拉―拉格朗日方程这样的思路，整体变分图像修复模型可以如下引入：

如图1所示， 是待修复区域， 是 的边缘部分，也是未受损部分，假设 ，则可以定义 上的一个能量函数如下：

其中， 是图像函数， 是一个实函数，当 时， ， 为梯度，对于待修复的图像可以表示为 ， 为原始未受污染的图像， 为受噪声污染的图像， 为期望为0，方差为 的随机噪声，研究中通常设为高斯白噪声。

三、数值计算实现

由于大多数偏微分方程（PDE）的定解问题很难有显示的计算格式，就算存在也过于复杂。所以，必须应用某些近似的数值方法来求偏微分方程的解。差分法是一种近似求解偏微分方程的方法，其中为了求得稳定、高精度解，并且在图像处理中能保持图像的某些特性，关键技术就是如何构造差分格式。

最小化整体变分去噪模型的方法，主要可以分为三类：解相关的欧拉―拉格朗日方程；直接优化目标函数；使用显示双变量方法。依据这三类方法，研究人员对整体变分模型的数值解法进行了许多研究，比如有：用固定迭代方案直接求解稳定的欧拉―拉格朗日方程；为了减少奇异性，而采用退化扩散系数 的一种预处理技术；使用ROF（Rudin、Osher and Fatemi）模型的双变量描述，得到的一种鲁棒性更好的求解方法等等。下面介绍一种应用比较广泛的数值计算方法来对整体变分模型进行数值求解，就是半点格式化。综上所述，算法的执行步骤为：（1）读入待修复图像；（2）设置迭代次数 和灰度阈值参量 ，并且计算图像的掩码信息；（3）对掩码中的每一个像素点计算它周围四个参考像素点的一阶导数值和梯度的模值，再计算得到新的像素值，保存到新图像中；（4）判断是否符合要求，不符合则继续迭代。迭代结束以后保存新图像且显示修复后的图像。

参考文献：

[1]陈利霞,冯象初,王卫卫,宋国乡.加权变分的图像去噪算法[J].系统工程与电子技术,2010,32(2):392-396

[2]Chan T F,Shen J H.MATHEMATICAL MODELS FOR LOCAL NONTEXTURE INPAINTINGS[J].SIAM Journal on Applied Mathematics,2002,62(3):1019-1043