拉长学生主动学习的时段

一、情境引入

（一）让学生观看一组描述函数概念和基本函数Ⅰ的“章头语”的动画。

事物是运动变化着的，我们可以感受到它们的变化：

早晨，太阳从东方冉冉升起；

气温随时间在悄悄地改变；

随着二氧化碳的大量排放，地球正在逐渐变暖；

中国的国内生产总值在逐年增长；

……

（二）教师：请说说在以上几个问题中，你感受到的“变化”。

学生：太阳高度在变高；时间在变化，气温也在变化；二氧化碳排放量增大，地球变暖了；年代变化，我国的国内生产总值在增长。

教师追问：请归纳出共性的成分。

学生：实际上第一个画面中的“冉冉升起”，也隐含了时间在变化，因此，总共有两个量在变化。

教师追问：还有进一步的认识吗？

学生：除第二个画面外，其余画面都有一个量随时间的变化而变化。实际上第二个画面也有这方面的意思。

二、高中函数概念的萌芽

（一）教师：请学生结合上面的思考，自学教材（苏教版）相应的主体内容。

在现实生活中，我们可能会遇到下列问题。

1.估计人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据。从人口统计年鉴中可以查得我国从1949年至1999年的人口数据资料，如表2-1-1所示，你能根据这个表说出我国人口的变化情况吗？

表2-1-1 1949年～1999年我国人口数据表

2.一物体从静止开始下落，下落的距离y（m）与下落时间x（s）之间近似地满足关系式y=4.9x2。若一物体下落2s，你能求出它下落的距离吗？

3.图2-1-1为某市一天24小时内的气温变化图。

（1）上午6时的气温约是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？

（2）在什么时刻，气温为0℃？

（3）在什么时段内，气温在0℃以上？

（二）（约5分钟后）请学生小组交流。

（三）教师：请学生再说说有关的“变化”。

第一小组代表：问题1中，我国人口数，每隔5年都增加；问题2中，当物体下落2s，物体下落19.6m；问题3中，（1）上午6时的气温约是-1℃，全天的最高和最低气温分别是10℃和-2℃，（2）7点和23点，（3）7点到23点。

第二小组代表：实际上，这中间的变化就是初中的函数。

教师追问：说说初中函数的概念。

第二小组代表补充：在一个变化过程中，有两个变量，当一个变量的取值确定后，另一个变量的值随之惟一确定。

教师：初中的函数概念比较粗糙，如两个变量在怎样的范围内变化？我们已经学习了集合概念，如何用集合语言来阐述上述三个问题的共同点？

学生：第一个和第二个变量的取值范围分别用集合和表示。

三、高中函数概念的初步建构

（一）教师：我们再看教材，请比较教材上和你的想法有什么不同点。教材相应的主体内容如下。

如何用集合语言来阐述上述三个问题的共同点？

每一个问题均涉及两个非空数集A，B。

例如，在第一个问题中，一个集合A是由年份数组成，即

A={1949，1954，1959，1964，1969，1974，1979，1984，

1989，1994，1999}

另一个集合B是由人口数（百万人）组成，即

B={542，603，672，705，807，909，975，1035，1107，1177，1246}

B与A存在某种对应法则，对于A中任意元素x，B中总有一个元素y与之对应。

例如，在第一个问题中，x（年份）取1949，则y（百万人）取542。这时，我们说“1949对应到542”，或者说“输入1949，输出542”，简记为1949542。

图2-1-2所示的“箭头图”可以清楚地表示这种对应关系，这种对应具有“一个输入值对应到惟一的输出值”的特征。

（二）（约3分钟后）学生1：书上引入了两个非空数集A，B，比集合限定的范围小，同时引入了对应概念。

学生2：书上用的“箭头图”直观，同时也指出“惟一”，这是我没有想到的。

四、高中函数概念的进一步建构

教师：为了表达方便，像初中用字母表示文字一样，我们将对应法则用字母f表示，因为对应是“惟一”的，如果第一个变量用x表示，第二个变量就被第一个变量x和对应法则f “惟一”确定，因此我们可以引进一个只与两个字母x和f有关的一个符号f（x）表示。请看教材中关于函数的定义，并谈谈你的理解。

一般设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有惟一的元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数（function），通常记为y=f（x），x∈A。

其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y=f（x）的定义域（domain）。

学生：简单地说“对应是函数”，而在记号“y=f（x），x∈A”中是一个等式，我难以理解。

教师：归纳得很好。我们就应该抓住关键处，舍弃次要部分。定义中，事先用两个字母x和y表示两个变量，而按照定义，由对应法则和第一变量x就可惟一确定第二个变量，即f（x）就可以表示第二个变量，因此有y=f（x），x∈A，它既可以看成函数的一个记号，也可以理解成等式。

五、函数的三要素的理解

教师：函数定义中，你认为有哪些关键词？

学生：两个变量、对应法则和定义域。

教师：能否再减少关键词？大家先思考再交流一下。

（约3分钟后）学生：两个变量可以减少。

教师：说说理由。

学生：对应法则定了，变量x在定义域中取一个值，对应y的就是f（x），整个函数就确定了。

教师：很好。少一点关键词虽然可能有些不完整，但更抽象，这是数学的本质。下面共同完成教材上的与定义域、对应法则有关的例题。（内容略）

接下来，主要解决教材上的例题，并带出函数的值域，研究值域与函数定义中的集合B的关系。师生共同探讨得出：虽然函数的值域可以由函数的定义域和对应法则确定，由于值域反映了另一个变量的核心，因此也将其作为函数的一个要素。（具体过程略）

（作者单位：江苏省靖江高级中学）