时间：2022-06-08 09:53:35
碰到设圆的切线方程时，我们一般设为点斜式或两点式，但还可以同时设点斜式和两点式方程，然后进行比较.虽然三种方法设的是不同的直线方程，但解题过程仍然相同精彩.
例1已知直角坐标平面内的动点M满足：|MA|2-|MB|2=4(|MB|-1)，其中
A(0,-1),B(0,1)．
图1
（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过N(-2,1)作两条直线交（Ⅰ）中轨迹C于P,Q,并且都与“以A为圆心，r为半径的动圆”相切，求证：直线PQ经过定点．
1.设点斜式
分析:（Ⅰ）设M(x,y)，由|MA|2-|MB|2=4(|MB|-1)可得方程，化简即可；
（Ⅱ）设直线NQ,NP的斜率分别为k1，k2利用点斜式可写出直线
NP,NQ的方程，根据直线
NP,NQ与动圆A相切可得k1k2=1，分别联立直线与曲线方程可得P,Q的坐标，由点斜式可写出直线PQ的方程，据方程形式即可求得所过定点．
解:（Ⅰ）设M(x,y)，由|MA|2-|MB|2=4(|MB|-1)得
x2+(y+1)2-［x2+(y-1)2］=
4(x2+(y-1)2-1),
化简得： x2=4y．
证明（Ⅱ）设直线NQ,NP的斜率分别为k1,k2，则直线
NQ的方程为k1x-y+2k1+1=0，
直线NP的方程为k2x-y+2k2+1=0，
由NQ,NP与动圆A相切得：
2|k1+1| k21+1
=2|k2+1| k22+1
，化简得：
(k1-k2)(k1k2-1)=0
，
由k1≠k2，得k1k2=1.
联立
y=k1x+2k1+1
x2=4y
,解得
Q(4k1+2,(2k1+1)2，同理P(4k2+2,(2k2+1)2).
故kPQ=(2k2+1)2-(2k1+1)2
4(k2-k1)
=k1+k2+1.
直线PQ的方程为
y-(2k2+1)2=(k1+k2+1)(x-4k2-2),
化简并结合k1k2=1得：
y=(k1+k2+1)(x-2)-3，
所以直线PQ恒过定点(2,-3)．
2.设两点式
分析:（Ⅱ）设
P(m,m2 4),Q(n,n2 4)(m≠n),利用两点式可写出直线 PQ,NP,NQ的方程，根据直线
NP,NQ与动圆A相切可得mn=2(m+n)-4，即可求得直线PQ所过的定点．
证明:（Ⅱ） 设P(m,m2 4),Q(n,
n2 4)(m≠n),则kPQ=
m+n 4,直线PQ的方程为
y=m+n 4x-mn 4
，又直线PN的方程为(m-2)x-4y+2m=0.
同理直线PN的方程为(n-2)x-4y+2n=0,由NQ,NP与动圆A相切得：
2|m+2| (m-2)2+16
=2|n+2|
(n-2)2+16
,
即(m+2)2(n-2)2-(m-2)2(n+2)2=16(m+2)2-16(n+2)2,
故8(mn-4)•(n-m)=16(m+n+4)•(n-m),由于
m≠n,所以
mn=2(m+n)+12，
直线PQ的方程为y=
m+n 4
x-2(m+n)+12 4,
即y=m+n 4
(x-2)-3.
所以直线PQ恒过定点(2,-3)．
3.兼设两式
证明:（Ⅱ） 设P(m,m2 4),
Q(n,n2 4)(m≠n)直线
NQ,NP的斜率分别为k1,k2，则直线NQ的方程为
k1x-y+2k1+1=0， 直线NP的方程为
k2x-y+2k2+1=0，
由NQ,NP与动圆A相切得：
2|k1+1| k21+1=
2|k2+1| k22+1=r，化简得：
(4-r)2•k21+8k1+(4-r2)=0,(4-r2)•k22
+8k2+(4-r2)=0
，故
k1k2=1，又
k1=n2 4-1 n-(n-2)
=n-2 4,k2=m-2 4
代入得
mn-2(m+n)-12=0, ①
又直线PQ的方程为y=m+n 4x-mn 4，
即mn-(m+n)x+4y=0. ②
比较①②得： -x=-2,4y=-12,所以直线PQ恒过定点(2,-3)．
点评:通过一题三解，我们发现三法各有特点，从思路切入方面看：解法1,2自然；从运算角度来看：解法3更快捷.实际应用中，方法应该因题而定，方案应该因思路而动.为牢固掌握上述方法，灵活处理圆的切线问题，我们再来研究一例.
例2如图2，已知抛物线
C：y2=2px和圆M：（x-4)2+y2=4 ，过抛物线C上一点
H(x0,y0)作两条直线与圆M相切于A、B两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点
M到抛物线准线的距离为9 2．
(Ⅰ)求抛物线C的方程；
(Ⅱ)求证：对任意的动点H，直线EF恒与圆M相切．
解：（Ⅰ） M（4，0）到抛物线C：
y2=2px的准线x=
-p 2的距离为
p 2
+4=9 2p=1
，抛物线C的方程为 y2=2x.
（Ⅱ）（考虑使用两点式方程）由题意可知
kHA斜率存在，
设
E(y21 2,y1),F(
y22 2,y2)(y1≠y2)则
HE:2x-(y1+y0)y+y1y0=0,HF:2x-(y2+y0)y+y2y0=0,
由题意，得
|8+y0y1|
4+(y0+y1)2
=2,
|8+y0y2|
4+(y0+y2)2=2,
即
(y20-4)y21+8y0y1-4y20+8=0,(y20-4)y22
+8y0y2-4y20+8=0
y1+y2=-8y0 y20-4,
y1•y2=48-4y20
y20-4.
又直线EF:2x-(y1+y2)•y+y1y2=0，故圆
M到EF的距离
d=|8+48-4y20 y20-4|
4+(-8y0 y20-4)2
=4(y20+4) 2(y20+4)
=2.
所以直线EF与圆M恒相切.
其它方法也适用于本题，感兴趣的同学不妨试之.