时间:2022-06-05 03:20:34
函数思想是一种通过构造函数来实现问题转化的思想方法。在中学数学中,许多问题如果应用函数思想去解决,可使问题直观化、简单化,便于学生理解和掌握,收到事半功倍的效果。
一、通过构造函数,利用函数图像的对称性来解答方程根的问题
例1.已知x1是方程x+lgx=3的一个根,x2是x+10x=3的一个根,则x1+x2的值是( )。
A.6 B.3 C.2 D.1
解析:构造函数f(x)=lgx,g(x)=10x,h(x)=3-x,在同一坐标系内画出这三个函数的图象,易知g(x)与f(x)的图象关于直线y=x对称,x1和x2分别是g(x)和f(x)与直线y=x交点的横坐标。由y=x与y=3-x解得交点的横坐标为 ,所以, = ,即x1+x2=3。
二、通过引进函数,再利用函数的奇偶性解决问题
例2.已知(3x4+7x3+4x2-7x-5)5・(3x4-7x3+4x2+7x-5)5=a0+a1x+a2x2+…+a40x40,求a0+a1+a4+…+a40的值。
解析:设f(x)=(3x4+7x3+4x2-7x-5)5・(3x4-7x3+4x2+7x-5)5,易知f(x)=f(-x),从而f(x)是偶函数,于是有a1=a3=a5=…=a39=0。
a0+a1+a2+…+a40=a0+a2+…+a40,
且有f(1)=(3+7+4-7-5)5・(3-7+4+7-5)5=1024,
即得a0+a1+a4+…+a40=1024。
三、通过引进函数,再利用函数的单调性解决不等式的解的问题
例3.设实数a>1>b>0,问a、b满足什么关系时,不等式lg(ax-bx)>0的解集是(1,+∞)?
解析:构造函数f(x)=lg(ax-bx),
ax-bx>0,即( )x>1,且 >1,
x∈(0+∞)。
依题意,只需f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(1)=0。
a>1>b>0,
ax和(-b)x在(0,+∞)上都随x的增大而增大,故f(x)=lg(ax-bx)是(0,+∞)上的增函数。
又f(1)=lg(a-b),令lg(a-b)=0,得a-b=1,即a、b满足的关系应为a=b+1。
四、利用函数观点解答数列问题
例4.设等差数列{an}前n项和为sn,已知a3=12,s12>0,s13
(1)求公差d的取值范围。
(2)指出s1,s2,…,s12中哪一个值最大,并说明理由。
解析:(1)由s12>0,s13
(2)sn=na1+ d
= [n- (5- )]2- [ (5- )]2
d
当-
n取正整数6时,sn最大,即s6最大。
五、利用函数,解决二次方程根的问题
例5.已知关于x的实系数方程x2+ax+b=0的两个实根α,β,证明:
(1)如|α|
(2)如果2|a|
证明:(1)由根与系数的关系得|b|=|αβ|
即1-2a+b>0,2a>-(4+b);
1-2a+b>0,2a
2|a|
(2)由2|a|0,4-2a+b>0,即f(2)>0,f(-2)>0,由此可知f(x)=0的每个实根或者在区间(-2, 2)之内或者在(-2,2)之外。
若α,β落在(-2,2)之外,则与|b|=|αβ|
若a(或β)落在(-2,2)之外,则由|b|=αβ|0、f(-2)>0矛盾。
综上,α、β均落在(-2, 2)之内,故有|α|