走出困境:“以旧换新”化概念 (上)

如果你已经认真研习了“破解函数压轴题”系列的前八期内容，相信你一定收获了足够多的信心和对策走出函数综合题带来的种种困境．然而，下一题永远都可能是新的，每一道陌生的题目都在考验我们的阅读、理解和转化能力．常言道：万变不离其宗，我们要学的，是如何将新信息与自己已掌握的知识和方法联系起来，“以旧换新”，最终让所有的问题都转化为我们的“拿手好戏”．

例 如果函数g（x），f1（x），f2（x）在公共定义域D上满足f1（x）

（1） 若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，求a的取值范围；

（2） 当a=时，求证：在区间（1，+∞）上，函数f1（x），f2（x）的“活动函数”有无穷多个．

题意解读：例题新就新在“活动函数”这个概念上．粗心的同学往往会对题中的新概念产生误解，导致刚开始做题就搞错方向．比如，有的同学会将题意理解成要先求出f1（x）的最大值m1和f2（x）的最小值m2，为使f1（x）

f（x）

问题转化：例题的“新”实际上只是“虚张声势”. 所谓“函数f（x）是f1（x），f2（x）的‘活动函数’”，就是指 f（x）

而要证明问题（2），只要证明“当a=时，对于区间（1，+∞）上的每个x，均有f1（x）

问题（1）解析：

令F（x）=f2（x）-f（x）=-ax2+2ax-lnx，G（x）=f（x）-f1（x）=x2-2ax+a2 lnx.

当a>时，观察F（x）的解析式，因为-ax2+2ax是开口向下的二次函数，所以当x在区间（1，+∞）上的取值充分大时，-ax2+2ax的值为负．又-lnx1），所以F（x）>0不可能在区间（1，+∞）上恒成立．

当a≤时，观察F（x）的解析式难以直接判断其正负，因此求导来解决．F′（x）＝．在区间（1，+∞）上，当a＝时，F′（x）＝＞0，F（x）单调递增；当a＜时，m（x）=（1-2a）x2+2ax-1的图象开口向上，对称轴x==1+∈（-∞，1），又x∈（1，+∞）， m（ｘ）ｍｉｎ＞ｍ（1）＝0， m（ｘ）>0， F′（x）=>0，F（x）单调递增. 即当a≤时，F（x）单调递增．只要使F（1）=+a≥0，就可使F（x）在区间（1，+∞）上恒为正，解得a≥-． -≤a≤.

现在，我们应考虑当-≤a≤时，怎样使G（x）=x2-2ax+a2lnx在区间（1，+∞）上恒为正． 在区间（1，+∞）上，G′（x）=＞0，G（x）单调递增．只要使G（1）＝-2a≥0，就可使G（x）在区间（1，+∞）上恒为正，解得a≤.

综上所述，a的取值范围是-，.

问题（2）解析：

当a=时，f1（x）=x2+x+lnx，f2（x）=x2+x. 令B（x）=f2（x）-f1（x）=x2-lnx，可得在区间（1，+∞）上，B′（x）＝-＝>0，B（x）单调递增． 而B（ｘ）ｍｉｎ>B（1）=>0， 对于区间（1，+∞）上的每个x，均有f1（x）

取常数λ∈（0，1），作函数f1（x），f2（x）的加权平均函数T（x）＝λf1（x）+（1-λ）f2（x），则T（x）-f1（x）＝（λ-1）［f1（x）-f2（x）］＞0，f2（x）-T（x）＝λ［f2（x）-f1（x）］＞0，即对于（1，+∞）上的每个x，总有f1（x）

点评：

新颖的问题难就难在理解和转化．通过对新概念“活动函数”的具体解读，把例题中的问题转化为同学们熟悉的“某些函数在指定的区间上恒为正，求参数的取值范围”的题型，达到了“以旧换新”的目的．看来，无论试题的形式如何变化，由导数的正负性判断函数的单调性，再求出相关量之间的大小关系，始终是函数综合题的主旋律！

【练一练】

若一条直线在某区间上始终位于函数f（x）的下方，我们就说该直线在该区间上是f（x）的一条下托直线． 若f（x）＝，y=1+px在区间（0，+∞）上是f（x）的一条下托直线，求p的最大值．

【参考答案】

解：图象之间的上下关系可以解读为函数值之间的大小关系．由题意可知对任意x>0，f（x）＞1+px恒成立．由熟知的不等式ln（1+x）0）（详见《中学生天地・高中学习版》2012年第3期）可知0）可得p

题目转化为“当f（x）-1-px=＞0（p0）恒成立时，求p的最大值”. x>0， 与ln（1+x）-x-px2的正负性一致． 令h（x）=ln（1+x）-x-px2，则h′（x）＝-1-2px=．

当2p+1>0即-1+px恒成立．

综上所述，对任意x>0，使f（x）>1+px恒成立的p的最大值为-．