小心丢了直线周宇美

在求解直线方程问题时，如果考虑不周全或者忽视特殊情况等，就往往会造成错解现象――丢了直线. 下面对这些错解现象加以归纳总结，以引起同学们的注意.

一、 忽视“斜率不存在”丢了直线

若将直线方程设为点斜式或斜截式，则应针对斜率是否存在进行分类讨论，否则极易漏解.

例1 求过点（1，0）且与直线y=-x+3成45°角的直线方程.

错解 设所求方程为

y=k（x-1）.

由■=tan45°=1，得k=0.

故所求直线方程为y=0.

剖析 把直线设成y=k（x-1），就已经默认了直线是存在斜率的. 而斜率不存在时，直线是否满足题意呢？事实上，直线x=1也满足题意.

正解 （1） 当斜率不存在时，则直线x=1显然满足题设要求.

（2） 当斜率存在时，设所求方程为y=k（x-1）.

由■=tan45°=1，得k=0， 则所求直线方程为y=0.

故所求直线有两条：x=1和y=0.

二、 忽视“截距均为零”丢了直线

截距相等包含两层意思，一是截距不为零时相等，二是截距为零时相等，而后者常被忽视，造成漏解. 因此，对于此类题目，要分类讨论.

例2 求经过点（2，1）且在两坐标轴上截距相等的直线方程.

错解 设所求直线方程为■+■=1，由■+■=1，得a=3.

故所求直线方程为x+y-3=0.

剖析 上述设法是以截距不为零为前提的. 事实上，当直线在两坐标轴上的截距都为零（即经过原点）时，也满足题意.

正解 （1） 当a=b=0时，可设直线方程为y=kx，又过点（2，1），则此时直线方程为y=■x.

（2） 当a=b≠0时，设所求直线方程为■+■=1，过点（2，1），则■+■=1，得a=3，则所求直线方程为x+y-3=0.

故满足题意的直线方程为y=■x和y=-x+3.

三、 忽视“特殊位置”丢了直线

例3 求经过点（-3，0）且到A（1，1）和B（-3，3）的距离相等的直线方程.

错解 由题意，所求直线过（-3，0）且与AB平行，又kAB=-■，

则所求直线方程为y=-■（x+3），即x+2y+3=0.

剖析 事实上，过A、B的中点（-1，2）和过点（-3，0）的直线也满足题意. A、B可在直线的同侧与异侧.

正解 （1） 当所求直线与AB平行时，又kAB=-■，

则所求直线方程为y=-■（x+3），即x+2y+3=0.

（2） 当所求直线过A、B的中点（-1，2）时，由两点式，得直线方程为x-y+3=0.

故所求直线方程为x+2y+3=0和x-y+3=0.

四、 忽视“截距非距离”丢了直线

例4 求过（2，1）且与两坐标轴所围成的三角形面积为4的直线方程.

错解 设所求直线方程为■+■=1.

（2，1）在直线上， ■+■=1. ①

又■ab=4，则ab=8. ②

由①②得a=4，b=2.

故所求直线方程为x+2y=4.

剖析 这里将直线x轴和y轴上的截距当做距离. 事实上，直线与两坐标轴所围的三角形面积为■|ab|，而不是■ab.

正解 设所求直线方程为■+■=1.

（2，1）在直线上， ■+■=1.

由■|ab|=4，得ab=8或ab=-8.

若ab=8，则a=4，b=2.

若ab=-8，则有a=-4-4■，b=-2+2■或a=-4+4■，b=-2-2■.

故所求的直线方程为x+2y=4或（■+1）x-2（■-1）y-4=0或（■-1）x-2（■+1）y+4=0.

五、 忽视“倾斜角范围”丢了直线

例5 已知直线l在y轴上的截距为3，倾斜角为α，且sinα=■，求直线l的方程.

错解 因为sinα=■，则cosα=■=■，tanα=■.

故直线l的方程为y=■x+3，即4x-3y+9=0.

剖析 由于倾斜角的取值范围是［0°，180°），所以满足sinα=■的倾斜角α可以是锐角也可以是钝角，而错解中忽视了α是钝角的情形.

正解 因为直线l的倾斜角α∈［0°，180°），且sinα=■，

则cosα=±■=±■，tanα=±■.

故直线l的方程为y=±■x+3，即4x-3y+9=0或4x+3y-9=0.