基于幼儿学习路径重新审视“数的分合”教学

10以内数的分合是大班幼儿数学学习的重要内容，很多教师都设计、组织过此类活动，也都知道：分合是学习加减的基础，因为加法里蕴含着合的思想，减法里蕴含着分的思想。但是，要解决实际教学中遇到的诸多问题，仅有这一基本认识是不够的，还需要具体了解幼儿的学习路径。本文试着从一则教学案例入手，来探讨教师该如何基于幼儿的数学学习路径，有效组织“数的分合”的教学活动。

案例所选择的活动内容是“引导幼儿学习8的分合”。活动过程的设计是这样的：以“复习7的分合”引入，然后为每个幼儿提供8个双色圆片（一面为红色，一面为绿色），让幼儿玩“撒圆片”的游戏，要求把撒出的结果（几个为红色，几个为绿色）写在记录单上。撒一次记录一次，重复的结果不记录。操作完成后。教师与幼儿一起归纳出“8有7种分法”，并进一步引导幼儿观察、分析记录单上分合式中数字递增、递减的规律。

但是在实际教学过程中。幼儿的操作出现了这样的意外情况：刚开始，有幼儿按照教师的要求撒圆片作记录，但是撒过一两次后，大部分幼儿已不再玩这个游戏。有的改为自己逐个翻圆片，翻一次记录一次，有的索性撇开圆片，开始扳手指头推算，有的甚至直接在记录单上写出了另外几种分法。

这是一个典型案例。活动结束后，笔者对68位在现场观摩的教师进行了问卷调查，其中65位教师（占被调查者的95.6%）都赞同让幼儿通过实物操作学习数的分合，60位教师（占被调查者的88.2%）曾在从5开始（有的甚至从2开始）到10的分合教学中都采用了类似方法。即5的分合是这么教的，6、7、8、9、10的分合也是这么教的，只不过可能会换个不同的情景或操作材料。但是也有53位教师（占被调查者的77.9%）反映：“数的分合”教学难以激发幼儿的学习兴趣，刚开始幼儿还能投入地进行操作，但后来由于同样的操作要求出现在多次集体教学活动中，幼儿便不再感兴趣了。

当然，从教学现场和活动后的调查中，我们能欣喜地看到，绝大部分教师已不再要求幼儿机械记忆数的各种分合式，开始关注幼儿自主操作的学习过程了。这反映出教师在教学观念上已发生重大转变。但问题是，在教学实施过程中，有些教师还基本停留在“知其然，不知其所以然”的阶段，只会不断套用一种教学形式，不知道幼儿学习数的分合的特点与路径，不知道幼儿在不同的阶段学习数的分合究竟需要什么样的操作，为什么要这样操作。以至于在实际教学中幼儿所做的是在原有水平上重复操作，从而失去了学习的兴趣。

由此可见，虽然在理念层面教师们已普遍认同教学要基于幼儿的现有水平，要“以学定教”，但在实践层面，具体到“数的分合”教学，很多教师还是未能准确把握教学的实质，对幼儿的学习路径并不了解，仍然强调结果（有几种分法、分别是什么），而没有看到帮助幼儿达成教学目标过程中所蕴含的发展价值。

那么，幼儿到底是怎么学习“数的分合”的呢？虽然幼儿在数学发展水平上存在很大的个体差异，但某一年龄段幼儿对“数的分合”的理解、掌握过程有严格的心理发展顺序，基本上都要经历以下五个阶段，走过相同的学习路径。

第一阶段：积累“量的分合”经验

在理解“数的分合”之前，幼儿需要积累大量的相关经验。尽管中大班幼儿在生活和游戏中都有过分东西的经验，但刚开始他们并不真正理解“数的分合”的意义，并不知道数是一个可分可合的集合。大班幼儿抽象思维开始萌芽，但从上述“数的分合”教学案例中看，幼儿的学习远没有达到抽象的水平。“智力始于动作”，幼儿对“数的分合”的理解也是从动作水平的摆弄开始的，幼儿需要通过自身的操作体验去发现数的分合规律。只有基于动作水平上的“量（实物）的分合”经验。幼儿才能真正理解什么是分，什么是分两份，体验一个量可以分成两个部分量。理解这一点，是幼儿学习“数的分合”过程中的重要一环。美国著名幼儿数学教育专家金斯伯格曾指出，一开始耍鼓励幼儿运用非正式的方法（如数数）去探索和解决数的分合问题，尽量让他们运用已有的知识经验来理解和解释当前的问题。生活中一些“量的分合”方面的游戏，可以作为幼儿原有经验和正式的“数的分合”学习之间的桥梁。如游戏“谁的糖果多”（方法是幼儿用自己手中的糖果去匹配放在果盘格子中的糖果，数一数合起来等于指定的数量，便可取出）就是幼儿喜欢的、有利于积累经验的游戏。案例中的“撒圆片”也是很好的帮助幼儿积累前期经验的数学游戏：“分合”不是幼儿有意识操作验证的结果，而是在“撒”的过程中自然出现的，幼儿只需通过数数即可感受到不同的分法。这些游戏在中班末期就可以让幼儿玩了，以让幼儿在玩的过程中体验量的分合。

幼儿进入大班后，教师要有意识地在教学中为幼儿提供大量操作机会。例如，教师可以让幼儿从5开始学习数的分合。一方面，因为5是单数，不能平均分成两份，有助于打破幼儿固有的均分观念：另一方面，对大班幼儿来说，5的数量是能够目测的，一般不会出现计数上的困难。在具体活动设计上，教师可以为每个幼儿提供25个相同的实物，让幼儿每次取5个实物，并将其分成两份，想想可以怎么分，有哪些不同的分法。在幼儿基本掌握了5的分合后，再让幼儿运用5的分合经验，通过实物操作去探索学习2～4的数的分合。

只有在参与了大量的操作活动，使用了大量的材料，通过操作获得了大量的感性经验并经常与他人交流、讨论自己的观察和发现的基础上，幼儿才能较好地掌握数的分合概念。

第二阶段：从“量的分合”

皮亚杰在强调动作对幼儿思维发生发展的重要性的同时，更强调对动作进行抽象概括的必要性。因为数理逻辑知识是从人们对客体所施加的动作中抽象出来的。如前所述“智力始于动作”，但动作本身不是获得数理逻辑知识的充分条件。要让幼儿掌握数理逻辑知识，教师必须保证幼儿在对物体施予动作的同时还会对动作本身进行反思和抽象。通过第一阶段的经验积累，幼儿虽然能够理解量（实物）的不同分法，但要让他进一步理解抽象的“数”也有这些分法就难了。刚开始接触“数的分合”活动时，幼儿并不理解分5个苹果和分5个梨子本质上是一样的，所以教师需要提供不同的材料让幼儿操作，除了分苹果外，还可以分梨、分香蕉、分橘子……再至分豆子、分玩具、分勺子等，让幼儿发现虽然具体分的东西不一样，但都是将5个东西分成两份。只有在操作诸多“量的分合”的基础上，幼儿才能逐步抽象出“数的分合”这一知识，而不是停留于具体“分东西”的行为上。

第三阶段：领会数的分合关系

幼儿在积累大量操作经验的过程中，会发现两个以上的东西有多种不同的分法，逐步学会有序分合，从而穷尽所有的分法。也即知道每个数有几种分法，继而发现数的分合中存在的规律。

如果在教学中，幼儿已通过操作学习积累了5以内数的分合经验，那么，从学习6的分合开始，教师就应进一步引导幼儿进入对“数的分合规律”的学习，帮助幼儿归纳出已有的分合经验，并进一步解决下列问题：从2到5，怎样对每个数进行有序的分合？每个数的分法有几种，和它自身比有什么规律？2至5的分法的递增规律是什么？如果掌握了这些规律，幼儿就可以借助它们自主学习6至10的数的分合，而无需教师再一个数一个数手把手地教了。在此过程中，可能会有少数幼儿跟不上集体学习的进程，教师可以针对他们的个别需求，继续帮助他们掌握6-10的数的分合。

第四阶段：掌握数的分合关系

只有基于以上各阶段的学习，幼儿才能逐步理解分合中“总数”和“部分数”之间的包含关系（例如，2和5合起来是7，7包含了这两个部分数），以及两个“部分数”之间的互补关系（例如，从1和6变到2和5，左边多1、右边少1，合起来还是7个）和互换关系（例如，3和4、4和3都是7的分法，两个部分数相同但位置互换）。皮亚杰指出，对儿童来说，“包含关系”的掌握是一个难点，因为儿童一注意部分就会忘了整体。同时，幼儿在理解“数的分合”中隐含的互补关系、互换关系时也有很大困难。而这些关系恰恰是幼儿能否真正理解“数的分合关系”的关键所在，也是我们教学中的重点和难点。

针对这一问题，教师可以引导幼儿在体验分合有序性的同时，观察两个部分数之间的互补、互换关系，帮助他们去发现：一个部分数增加几个，另一个部分数就会减少几个；有相像的分合式（两组部分数相同，总数相同，但部分数位置可互换），并从其中一个分合式推断出另一个分合式。应该强调的是，在“数的分合”教学中，重点在于让幼儿理解上述三种逻辑关系，至于幼儿是否会说“一个数可以分成几和几，几和几合起来就是这个数”，则不是教学的目标和重点。

第五阶段：用推理的方法学习分合

幼儿也可以通过已经掌握的数学知识推断出更多的“数的分合”规律。或通过掌握一些数学的基本规律来进一步学习和理解互补、互换等规律。推理方法的掌握，不仅可以简化解决问题的过程，还可以促使幼儿运用更有效的思维方法，避免死记硬背。金斯伯格认为，在“数的分合”的教学过程中，教师要鼓励儿童运用多种有意义的方式，如数数、扳手指、推理、游戏等，来加强对数的分合的理解。在“10的分合”的教学中，如果幼儿已经较好地掌握了分合的三种逻辑关系，就完全可以让他们运用推理的方法直接写出10的9个分合式。从本案例中我们也可以看出。部分幼儿已经达到了这个水平。当然，我们要关注幼儿的个体差异，允许幼儿采取适合自己水平的方式。如借助分实物来直接感知，将操作与推理结合起来，等等。

弄清了幼儿“数的分合”的学习路径，我们再回到本案例来，就能较客观地解释教学过程中幼儿的表现了。“撒圆片”活动其实并不能体现幼儿当前思维发展的水平，不利于幼儿思维能力的提升。既然幼儿已经有了前期分合操作的经验，幼儿的抽象水平也在逐渐提高，“8的分合”教学就可以通过纸笔练习或其他抽象程度更高的操作活动来进行了。

在“数的分合”教学中，教师关键是要通过观察和分析，判断幼儿处在学习路径中的哪一个阶段，这样才能将“以学定教”真正落到实处。才能有效促进幼儿的学习和发展。

参考文献：

[1]皮亚杰.儿童智力的起源[M].高如峰，陈丽霞，译.北京：教育科学出版社，1990.

[2][5][6]周欣.儿童数概念的早期发展[M].上海：华东师范大学出版社.2004.

[3]周希冰.幼儿数学教育操作活动浅谈[J].教育导刊：幼儿教育版，1999，（5）.

[4]张慧和，张俊.幼儿园数学教育[M].北京：人民教育出版社，2004.

（作者单位：嘉兴教育学院）