渗透图形运动观点,培养空间观念与几何直观

《义务教育教科书 数学（江苏科技出版社）》将“全等三角形”的学习安排在八年级这一学段.七年级的学习内容中已经安排了“平面图形的认识（一）”、“平面图形的认识（二）”.学生已经储备了对图形运动的初步认识及与之有关的丰富生活经验，为探索全等三角形的有关性质、判定提供了保障.

一、概念形成阶段――做足感受、体验的过程

第1节“全等图形”的学习从观察生活中常见的图案入手，引导学生欣赏生活中美丽图案的同时，也丰富学生对全等图形的感性认识.除了教材提供的素材以外，也可以从与学生息息相关的生活题材中选取合适内容，进而引导学生体会数学的实用价值.揭示全等图形概念之前，除了可以安排引导学生观察、描述图形特征的活动之外，还可以借助几何画板或其他软件展示图形之间的运动变化过程，并引导学生描述这种图形运动，为归纳、总结、揭示全等图形概念的关键词――“重合”埋下铺垫，也为后面学生想象图形运动积累感性认识与经验.教材在安排观察图案之后，进而安排了利用网格线画出运动后的图形这一操作活动.这一安排设计旨在引导学生逐步学会运用图形运动的观点来认识和研究图形的性质，以利于发展学生的几何直观能力和空间观念.

第2节“全等三角形”在概念认识上延续了运用图形运动的观点观察图形的学习方式，不仅要求学生观察，更是要求学生自己动手操作.通过实际操作，帮助学生积累对图形运动变化的感性认识，培养学生用图形运动的观点去认识、理解几何图形.其实这里的学习对学生而言有很大的个性空间，不一定要拘泥于教材中“运动――画图”，“观察――想象”的套路，尝试放手让学生自由发挥：“你能将两张全等三角形的纸片摆出什么造型或图案，并尝试说出其中的对应边及对应角吗？”实际授课中发现学生的积极性很高，思考问题更加积极，显示出“我要学数学”的景象.但只是操作、描述这样的活动，笔者发现这样的设计与安排存在一定的缺陷：因为是纸制的全等三角形，一下子就将学生的注意力集中到两个三角形上.而实际解决问题中，有一部分学生是观察不出复杂图形中的全等三角形.为了降低这一潜在因素的干扰，培养学生抽象思维与识图能力，笔者尝试在两张透明的塑料片上各画一个三角形（两个三角形全等），通过调整两张塑料片的位置来实现两个三角形的运动.视学生的掌握情况，适当添加全等三角形边以外的线段，制造学习上的一点阻力（当然这里要视学生的掌握情况而定）.两个存在重叠与透视的全等三角形的运动，对引导学生感受从复杂图形中分离出全等三角形积累一定的感性认识与经验. 这两节内容的教学，培养空间观念应成为主要目标，要给予学生充分的时间与空间，让学生去探索，去发现，去交流，去表达，去感受，去想象，这样才能将培养学生的空间观念落到实处.

通过观察、操作等活动逐步引导学生运用图形运动的观点去认识、理解图形的性质的同时，教材在这里还安排了课外阅读《图形的运动》，介绍了平移、翻折、旋转等全等图形变换，再次提出运用图形运动的观点来认识、理解全等三角形的性质，使学生对图形运动观点有一个全面、整体性的认识.

二、应用所学解决问题阶段――充分观察、想象

实际教学中，笔者发现不能很好利用全等三角形条件解决问题的学生，困难之处往往在于难以从图中识别出全等三角形，或者识别出全等三角形但是找不准对应边或对应角.这两种问题的出现，都说明学生在前期概念形成阶段对全等三角形积累的感性认识不足.所以在利用全等三角形解决问题的教学过程中，教师要有意识的引导学生主动地感受图形中的运动变化，对图形形成一种直观的把握，即对图形的一种感悟，逐步认识图形在运动变化过程中所遵循的变化规律.这一阶段，图形的运动变化不可能再以操作形成呈现，所以要借助于之前积累的图形运动变化的感性认识，充分地发挥学生的想象能力.

而事实上，空间观念的培养，其核心就是想象.例如根据几何图形想象对应的实际物体，由二维图形去想象和它对应的三维图形，由坐标系想象物体的方向和位置关系，根据语言文字描述想象图形并画出图形.类似的展开与折叠也是这样，一个平面图形能否折成三维图形，都是想象在起作用.所以，从刚刚接触运用三角形全等条件解决问题时，教师就要非常有意识地引导学生主动感受图形中存在的运动变化关系，不管图形有多简单或多复杂.这样做的好处非常明显，学生如果能够感受到图形中的运动变化，他就能够找到全等三角形的对应边及对应角，接下来就是利用已知条件转化出所需的边相等（或角相等）就可以了.有时学生对问题的理解与认识会擦出闪亮的火花.

例 （《义务教育教科书 数学八年级上册》（江苏科技出版社）第36页第11题）

图1 如图1，ACBC，DCEC，AC=BC，DC=EC.图中AE、BD有怎样的大小关系和位置关系？试证明你的结论.

分析：证明两条线段相等的常用方法：如果两条线段位于两个三角形中则考虑证明这两个三角形全等.

你观察出图中的全等三角形了吗？它们之间存在哪种图形变换？

分析进行得比较顺利，学生很快完成两条线段的大小关系证明.接下来的位置关系把学生难住了，一位女生小心地问道：“教师，我这样证明可以吗？”结果让笔者有点小意外： ACE绕C点逆时针旋转90°后可与BCD重合，故AEBD.

想法合情合理，也许这种解答不合演绎推理即本题“证明”的要求，但是学生对图形运动变化的感受、想象与领悟，提升了自身的数学素养与解决问题的能力.

[南京市八卦洲中桥中学 （210043） ]