妙用积化和差公式

将完全平方公式(a+b)2 =a2+2ab+b2， (a-b)2 =a2 -2ab+ b2进行变形(相减)后容易得到积化和差公式

４ａｂ＝(ａ＋ｂ）2－(ａ－ｂ） 2或ab=

(a+b 2)2-(a-b 2)2.

活用上面这两个公式解决有关数学问题能使问题柳岸花明，得到独特的解题方法，收到事半功倍之效.

一、求值

例1 已知a+b=70,c2=ab-1225,求a、b、c的值.

解 ：由积化和差公式，得

ab=(a+b 2)2-(a-b 2)2=

(70 2)2-(a-b 2)2=352-

(a-b 2)2.

所以1225=352-（a-b 2)2. 即-

(a-b 2)2=0. 从而a=b.

故a=b=35,c=0.

例2 已知x、y、z满足x+y=5,z2 =(x+1)y -9,

求［3x-2y+（xy +zx-y)2015 xyz］2011的值.

解 ：由积化和差公式得 (x+1)y=

［(x+1)+y 2］2-

［(x+1)-y 2］2.

所以z2=(5+1 2)2-(x-y+1 2)2-9.

即 z2 +1 4 (x-y+1)2 = 0.

由非负数性质得z=0,x-y+1=0. 即x=2,y=3,z=0.

故［3x-2y+（xy +zx-y)2015 xyz］2011=1.

二、求最值

例3 设实数a、b、c满足a2-bc-8a+7=0 ①, b2+c2+bc-6a+6=0 ②.

求a的最值.

解 ：由 ① 得 bc=a2-8a+7.〖JY〗③

②-①得 (b+c)2=a2-2a+1 〖JY〗④

由积化和差公式得 4(a2-8a+7)=4bc≤(b+c)2=a2-2a+1

即a2-10a+9≤0， 解之，得1≤a≤9.

故a的最小值为1，最大值为9.

说明 ：在积化和差公式４ａｂ＝(ａ＋ｂ）2－(ａ－ｂ）

2(1) 中，

由于(ａ－ｂ）2≥0，故又可得如下积化和的完全平方不等式.

即 ４ａｂ≤(ａ＋ｂ） 2〖JY〗 (2)

当且仅当ａ＝ｂ时，等号成立.

公式(1) 、(2)表明两个代数式之积可化为它们的和差的关系式.这两个公式虽然简单，但应用却十分广泛.若应用上述公式解题，方法独特，别致新颖，给人一种清晰、明快的感觉.

此题用公式(2)，极为方便.

三、分解因式

例4 （第十三届“五羊杯”赛题）分解因式(x4-4x2+1)(x4+3x2+1)+10x4.

解： 由积化和差公式 得

原式=

［（x4-4x2+1)+(x4+3x2+1) 2］2

-［（x4-4x2+1)-(x4+3x2+1) 2］2

+10x4

=(x4-1 2x2+1)2-

(-7 2x2)2+10x4

=(x 4-1 2x2+1)2 -（

3 2x2)2

=(x4-1 2x2+1+3 2x2)(x

4-1 2x2+1-

3 2x2)

=(x4+x2+1 )(x4-2x2+1 )

=［(x2+1 ) 2- x2］ (x2-1) 2

=(x2+x+1 )(x2-x+1 )(x+1)2 (x-1 )2.

四、解方程

例5 解方程(6x+7 )2 (3x+4 )(x+1 )= 6（山东省枣庄市赛题）

解 ：原方程可化为(6x+7 )2 (6x+8)(6x+6 )=72.

对后两个括号先利用积化和差公式，得

(6x+7) 2

［（6x+8)+(6x+6) 2］ 2-

［(6x+8)-(6x+6) 2］2=72.

即(6x+7 )2［(6x+7 )２ - 1 ］=12.

再次运用积化和差公式 得

［(6x+7)2+(6x+7)2-1 2］2 -

［(6x+7)2-(6x+7)2+1 2］2

=72.

［(6x+7)2-1 2］2-

(1 2)2=72.

即［(6x+7 )2 -1 2 ］2=(

17 2) 2.

两边开平方得(6x+7 ) 2-1 2= ±

17 2.

所以(6x+7 )2 = 9 或(6x+7 )2= -8 (无实数解，舍去).

所以 6x+7= ±3,

故x1=-2 3,x = -5 3.

五、证明

例6 若a、b、c 满足(a+c)(a+b+c)＜0,求证(b-c)2＞4a(a+b+c).

证明 ：(b-c)２-4a(a+b+c)＞(b-c)２-4a(a+b+c)+8(a+c)(a+b+c)

=(b-c)２+4 (a+2c)(a+b+c)

= (b-c)２+［(a+2c)+(a+b+c) ］ ２-［(a+2c)-(a+b+c) ］２

=(b-c)２+(2a+b+3c)２-(c-b)２=(2a+b+3c)2≥0.

所以 (b-c)２＞4a(a+b+c).

例7 已知ax+by-2c=0,ab-c2>0,求证xy的值小于1.

证明 ： 设xy=k,则 (ax)(by)=kab.

由积化和差公式及题设条件得

kab=(ax)(by)=(ax+by 2)2-

(ax-by 2)2=c2 -(ax-by 2)2.

所以 c2-kab=

(ax-by 2)2≥0, 所以c2≥ kab.

又由题设条件 ab＞0 ,所以k≤c2 ab.

由ab-c2 ＞0,知 c2＜ab. 故k≤c2 ab＜1. 即 xy＜1.

六、其他

例8 若(m-p)2-4(p-q)(q-m)=0,则p、q、m三者之间的关系是 ( )

(A) 2p=q+m 〖WB〗(B)p+q-m=0

(C) p+m=2q〖DW〗(D)2m=p+q

解 ：(m-p)2-4(p-q)(q-m)

=(m-p)2-｛［(p-q)+(q-m)］2-［(p-q)-(q-m) ］2｝