格林公式的研究式教学探讨

摘 要 研究式教学是以强调科学原理形成过程为主要特征的教学方式。尝试在格林公式概念的引入、定理推导以及格林公式的应用等教学全过程中引导学生主动进行探究，加深学生对概念的理解，培养学生研究问题的兴趣和能力。

关键词 格林公式；研究式教学；GPS面积测量仪

中图分类号：G642.4 文献标识码：B

文章编号：1671-489X（2013）30-0078-03

现代教学的基本特征是充分发挥学生的主体性与追求学生的全面发展。然而，实践中却在较大程度上存在重理论知识传播轻学生能力培养、重理论体系阐述轻现实问题研究、重教师单向灌输轻师生双向互动等问题。以探索和研究为基础的研究式教学则能较好地解决这些问题，实现对以知识传授为主的传统教学模式的超越。研究式教学是从由果到因的推论式教学转变成由因到果的探究式教学，是基于强调科学原理形成过程为主要特征的教学方式。运用研究式教学的关键在于懂得如何去启发和引导，如何让学生积极主动、生动活泼地学，如何唤起学生求知的欲望和求学的快乐。

在一元微积分中，有一个非常重要的牛顿-莱布尼兹公式，它被称为微积分的基本公式。而格林公式则在多元积分学教学内容体系中处于承上启下、承前启后的地位。同时，格林公式在实际中还有着非常广泛的应用。在格林公式内容的以往教学反馈中，存在定理推导的理论性比较强，定理的结论很抽象，格林公式的条件不好理解等问题。为了取得更好的教学效果，本文结合格林公式教学，尝试在格林公式概念的引入、定理推导以及格林公式的应用等教学全过程中引导学生主动进行探究，在定理的学习过程中还原定理的发现思路，培养学生发现问题的能力；在定理证明推导中引导学生主动进行探究，让学生体验和实践“研究”过程，培养学生研究问题的兴趣和能力；在定理的应用中鼓励学生深入挖掘，对知识和方法进行归纳、总结，使所学知识得到升华。

1 概念引入

农田面积测量关系到千家万户。如何快速准确地测量农田的面积呢？引导学生一起来回顾哪些方法可用来求平面区域的面积：1）可用定积分的微元法来求面积；2）可用二重积分来求面积。进一步，可将二重积分转化为累次积分来计算。注意到这两种方法都依赖于对平面区域的边界曲线的精确数学描述。然而，在实际面积测量中，任给一平面区域，能不能给出它的边界曲线的精确数学描述呢？不能。看来，在实际中不能直接利用上面的两种方法来算面积，那么，在生产实际中，到底如何来测量不规则平面区域的面积呢？

在面积测量的历史上出现过许许多多的方法。目前在市面上被广泛应用的一种面积自动测量仪（GPS面积测量仪）是集全球定位技术、电子技术与数学技术于一身的科技产品[1]，手持测量仪绕行测量区域一周，仪器自动记录行进封闭路线中若干点的坐标，并自动计算出所围绕区域的面积。如此方便高效的面积测量仪是如何工作的呢？事实上，GPS面积测量仪与格林公式有着密切的联系。

2 定理推导

下面来探寻GPS面积测量仪的数学原理。如图1所示，要测量平面区域D的面积。手持测量仪绕行测量区域D一周，仪器自动记录行进封闭路线中若干点的坐标，如A1，A2，A3，...A1；连接这些点，得到一条由各折线连接起来的封闭路线及其所围成的区域D′。GPS面积测量仪实质上就是用平面区域D′的面积来近似D的面积。这里面其实渗透着“以直代曲”的思想。显然，记录的点越多越密，近似程度越好。当然，点记录得越多，数据量也就越大，所以实际中只能记录有限个点。现在的问题是为何有这些边界曲线上的点的坐标，就能得到区域的面积呢？直观上，应该是边界曲线与它所围成的区域之间存在某种量上的联系。是不是真的存在联系呢？是何种联系呢？

格林公式，就正好是描述平面闭区域与其边界曲线之间的联系的。格林公式表明平面区域上的二重积分可通过沿区域的边界曲线的曲线积分来表示。

（简单区域上的格林公式）设xoy平面上的区域D为简单闭区域，其边界为光滑或分段光滑曲线，且L为逆时针方向。函数P（x，y），Q（x，y）在D上有连续的一阶偏导数，则有：

（1）

引导学生复习牛顿-莱布尼兹公式，强调被积函数的连续性，并让学生注意分析它与格林公式的共同点在于：积分重数下降一重，内部计算转化为边界计算。接下来引导学生思考如何证明格林公式。首先注意到等式两边都是组合的形式，因此左边可拆成两个曲线积分，右边可拆成两个二重积分。引导学生思考是否两边分别有项对应相等呢？如果有，如何对应相等？启发学生不妨考虑特例，如取P（x，y）=0或Q（x，y）=0，即可猜想应该是要证明：

这两个结论的证明类似，只需引导学生依据第二类曲线积分的计算方法以及直角坐标下二重积分的计算方法就可让学生自己完成定理的推导。引导学生仔细分析格林公式所需满足条件，分析当区域不是简单区域、曲线不是逆时针而是顺时针方向，以及函数如果不满足在区域上有连续偏导数的条件等情况下如何处理，启发学生积极思考，自己去探寻答案。

3 格林公式的应用

利用格林公式可以非常简单地计算一些对坐标的曲线积分，给出一个对坐标的曲线积分的计算实例，让学生回顾格林公式所需满足条件（如区域、曲线及函数所需满足的条件），自己动手完成例题。另一方面，还可用格林公式来计算平面区域的面积。接下来，计算图1中D′的面积。

根据格林公式，可用第二类曲线积分来计算边界曲线所围成的平面区域的面积。计算公式为[2]：

图1中区域D′的边界曲线为：

以下分别计算各折线段上的曲线积分。

考虑，由于折线的参数方程为

故有：

类似的，折线上的曲线积分有：

故可得区域D′的面积为：

（2）

可见，GPS面积测量仪在工作过程中，只需要记录行进封闭路线中若干点的坐标，代入以上计算公式，即可得到区域D′的面积，并以此近似区域D的面积。