一道数学联赛试题的十种解法

摘要:本文对2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题第13题进行研究,探究出十种解法,如均值不等式法、柯西不等式法、数量积不等式法、判别式法、导数法、三角换元法、构造函数法等,有利于提高学生分析问题、解决问题的能力.

关键词:联赛试题;十种解法

题目(2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题13)若不等式+≤k对于任意正实数x,y成立,求k的取值范围.

解法1(利用均值不等式a,b∈R+,≥)由题设知k≥恒成立,设u=,则k≥umax . 于是,u2==≤=. 因u>0,故u≤,当且仅当2x=y时,等号成立. 所以umax=,故k≥.

解法2(利用均值不等式≤)

由题设知k≥恒成立,设u=,则k≥umax .

=≤==,所以+≤. 所以≤. 故u≤,当且仅当2x=y时,等号成立. 所以umax=,故k≥.

解法3(柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2)由题设知k≥恒成立,设u=,则k≥umax .

因为[()2+()2]2+12≥(+)2,

所以(2x+y)+1≥(+)2,即≤. 故u≤,当且仅当2x=y时,等号成立. 所以umax=. 故k≥.

解法4(利用数量积不等式a•b≤ab)由题设知k≥恒成立,设u=,则k≥umax .令a=(,),b=,1. 因为a•b≤ab,所以+≤•,即≤. 故u≤,当且仅当a与b共线,即y=4x时等号成立. 所以umax=,故k≥.

解法5(判别式法)由题设知k≥=,令t=(t>0),k≥,所以(k2-1)t2-2t+2k2-1≥0. 当k2-1≤0时,显然不成立,所以k2-1>0.

又对称轴为t=>0,

所以Δ≤0?圯4-4(k2-1)(2k2-1)≤0?圯k≥或k≤-.

又因为k>0,所以k≥.

解法6(导数法)由题设知k≥=,令t=(t>0),则k≥. 令f(t)=(t>0),则 f ′(t)=. 令f ′(t)=0,则t=2. 当02时,f ′(t)

解法7由题设知k≥,令f(x)=(x>0),所以f ′(x)=. 令f′(x)=0得x=. 当0时, f ′(x)

所以当x=时,f(x)max=f==. 所以k≥.

解法8(三角换元法)由题设知k≥=,令t=,则=t2-2 . k≥=+. 令=cosα, α∈0,,则==cosα,=sinα. 故+=cosα+sinα≤. 所以k≥.

解法9由题设知k≥=.

令u=.

因为+=1,

令=cos2α,=sin2α,所以u=

=

=.

所以当sin2α=时,umax=. 所以k≥.

解法10(构造函数法)由题设知k≥恒成立,可以看成点P,1到直线•a+•b=0的距离d. 因为d≤PO,所以dmax=PO=.所以k≥.

图1

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