也说“数形结合法”

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）16-008-01

数形结合的思想在每 年的高考中都有所体现，它常 用来研究构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；构建函数模型并结合其图象研究方 程根的范围；构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；构建方程模型，求根的个数等。从历年的高考题来看，数形结合的重点是研究“以形助数”。预测以后的高考中，仍然会沿用以往的命题思路，借助各种函数的图象和方程的曲线为载体，考查数形结合的思想方法。复习中应提高用数形结合思想解题的意识，画图不能太草，要善于用特殊数或特殊点来精确确定图形间的位置关系。下面，我们试举三例加以讨论。

类型一、利用数形结合思想讨论方程的根、函数的零点

例1：设函数 （x∈R）满足 ， ，且当x∈[0，1]时， 。又函数 ，则 在 上的零点个数为（ ）A.5 B. 6 C. 7 D. 8

分析：用函数的图象讨论方程（特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程）的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式（不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数）。

再根据函数性质画出 上的图像，在同一坐标系画出所得关系式等号两边函数的图像，如图所示，有5个根，所以总共有6个。

利用数形结合求方程解（或函数的零点）应注意两点：

（1）讨论方程的解（或函数的零点）可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨 论方程的解一定要注意图像的准确性、全面性，否则会得到错解。

（2）正确作出两个函数的图像是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合。

类型二利用数形结合思想解不等式或求参数范围

例2：已知奇函数 的定义域是 ，且在（0，+∞）上单调递增，若 ，则满足 的 的取值范围是________。

求参数 范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个（或多个）函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答。

解析：作出符合条件的一个函数的草图即可，由图可知 的 的取值范围是 ，所以答案是

类型三利用数形结合思想求最值

“形”可以使某些抽象问题具体化，而‘数”可以使思维精确化，应用数 形结合在某些求最值问题中，可以收到意想不到的效果。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：①要彻底弄清一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目 中的条件和结论，既分析其几何意义又分析其代数意义。②要恰当设立参数，合理建立关系，由数思形，以形思数，做好数形转化。③要正确确定参数的取值范围。

总的来说“数形结合”思想是解决许多数学问题的重要思想方法，它可以将抽象数学问题具体化、准确化、形象化。用好数形结合可以使我们更深入准确的理解数学问题。在数形结合时，既要 进行几何直观的分析，又要进行 代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析（或仅对几何问题进行代数分析）在许多时候是很难行得通的。例如，在解析几何中，我们 主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何 特征，将会使得复杂的问题简单化。