对一道易错高考题的分析

2006年高考理科综合全国卷(Ⅰ)20题：

原题 一位质量为m的运动员从下蹲状态向上起跳，经Δt时间，身体伸直并刚好离开地面，速度为v。在此过程中，

A．地面对他的冲量为mv+mgΔt，地面对他做的功为1/2mv2

B．地面对他的冲量为mv+mgΔt，地面对他做的功为零

C．地面对他的冲量为mv，地面对他做的功为1/2mv2

D．地面对他的冲量为mv-mgΔt，地面对他做的功为零

一些考生错选答案A，地面对人做功了吗?若没有做功那么人的机械能为何增加?

哪些情况下地对人做功?哪些情况下不做功?我们来看下面的模型。

模型1 如图1，物体A、B与相连的轻弹簧构成质点组，当弹簧处于压缩状态时，AB用一细线相连，剪断细线，经Δt时间B刚要离开地面，A速度为v。在此过程中：地对质点组做功了吗?地对质点组冲量多大?

结论很明确，B在力的作用下没有发生位移，地面对物体B没有做功，即地面对质点组也没有做功，地面没有给质点组提供能量，质点组内弹性势能转化为动能和重力势能。

本问题也可对质点组用动能定理分析：W内+W外=ΔEk，设A物体升高h，mA和m总分别表示A的质量和质点组总质量。W内为内力做功，即弹簧弹力做功；W外力外力做功

-mAgh，W内-mAgh=1/2mAv2

所以W内=mAgh+1/2mAv2

质点组内弹性势能转化为动能和重力势能。

再对质点组用动量定理：设地对质点组的冲量为IN，取向上为正，有

IN-m总gΔt=mAv

当mA远大于mB时

mA≈m总，有：

IN=m总gΔt+m总v

原题分析 由此可知，运动员从下蹲状态向上起跳可等效为质点组模型，身体等效于A物体，脚等效于B物体，内力做功等效于弹簧弹力做功。地面对运动员作用力的受力点脚在该过程中没有位移，所以地对运动员没有做功，地面没有对人提供能量，起跳过程是人肌肉收缩做功，也就是人的内力做功，从而把人体内的化学能转化为机械能。地面对他的冲量为mv+mgΔt，答案B。

模型2 质量为m的人站在电梯里和电梯一起从静止开始匀加速向上运动，位移为h时速度达到v，此过程中底板对人做的功为多少?

人相对电梯静止，可将人视为质点，对人用动能定理：W-mgh=1/2mv2

即底板对人做的功为W=mgh+1/2mv2

电梯对人提供了能量。

比较原题和模型2可知，人体对自身做功的例子很多，例如跳高、跳远、跳绳、蹦床、人走路、人上楼梯时等，都是肌肉收缩而对自己做功，地对人不做功，地对人没有提供能量；而模型2中人体相对于底板未动，没有对自己做功，电梯对人做功，是电梯对人提供能量使人的机械能增加。

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