一道国际数学奥林匹克题的简证

1988年第二国际数学奥林匹克第6题，在相关数学专著和网上都有证明，但过程较繁或没有构造性结论。本文参考已有证法，给出一个既简洁又有构造性结论的证明，同时给出了三个推论命题，由这三个命题我们很容易得到此奥数题的各种特例。

1988年第二国际数学奥林匹克第6题，是一个非常有意思的题目。虽然这道题已过去很长时间，但仍有许多人在议论这道题。纵观这道题的各种证明，目前为止比较好的有两种，皆由《初等数论》（作者：潘承洞、潘承彪，北京大学出版社）给出。但一种证明没有给出构造性结论，另一种证明较繁。本文参考《初等数论》，给出一个更加简单明了的证明。

题目：正整数a与b使得ab+1整除a2+b2，求证：是某个正整数的平方。（1988年第二国际数学奥林匹克第6题）

证明：根据a、b在命题中的对称性，不妨设a≥b。令=k（k为正整数）。考虑关于x的一元二次方程：x2-kbx+b2- k =0 ……（1）

依题意，a为方程（1）的一个正整数解。设方程（1）的另一个解为a1,则由韦达定理有：a+a1=kb ………………………………（2）aa1=b2-k ………………………………（3）

由方程（2）知a1为整数，并且（a,b）=（b,a1）。又由于b是正整数，所以a1≥0（否则a12+b2=k（a1b+1）≤0）。

由方程（3）知：a1=≤

若a是b的倍数，则由方程（2）可知，b|a1，结合b>a1≥0进而可知a1＝0。将a1＝0代入方程（3）和方程（2）得，k=b2,a=b3。这就是说，在题目的条件下，且a是b的倍数时，命题一定成立，而且有a=b3，k＝b2=（a,b）2。

若a不是b的倍数，则由方程（2）知a1>0。于是有：＝＝k，并且a>b>a1>0，（a,b）=（b,a1） 。

同理可证，若b是a1的倍数，则k= a12=（b,a1）2=（a,b）2；若b不是a1的倍数，则存在正整数a2，使得：＝＝=k，并且a>b>a1>a2>0，（a,b）=（b,a1）＝（a1,a2）。依此类推，最后一定有两个正整数an+1与an，满足：an+1是an的倍数，k=an2=（a,b）2。这就是说，在题目的条件下，且a不是b的倍数时，命题也成立，而且k=（a,b）2。

综上所述，若正整数a与b使得ab+1整除a2+b2，则一定有＝（a,b）2。

上述证明不仅简洁，同时给出了构造性的结论，而且由上面的证明过程，我们还可以得到以下三个命题。命题一：若正整数a与b使得ab+1整除a2+b2，且a是b的倍数，则一定有a=b3,=b2。命题二：若a=b3，b为正整数，则ab+1一定能整除a2+b2，并且=b2。命题三：若a、b、m为正整数，＝m2，则＝m2.

用以上命题，很容易得到此奥数题的各种特例。

（盐城纺织职业技术学院）