均匀二重混合双曲多项式B样条曲线

摘要:为扩展B样条曲线,提出1种均匀二重混合双曲多项式B样条曲线. 该样条曲线在span{sinh t,cosh t,tsinh t,tcosh t,1,t,…,tk-6,tk-5}空间上均匀产生,其中k是大于等于5的整数. 证明k阶二重混合双曲多项式B样条基的性质和二重混合双曲多项式B样条曲线的性质. 二重混合双曲多项式B样条曲线精确地包含双曲多项式B样条曲线. 给出这种新样条曲线的细分公式并证明其有变差缩减性质和细分控制多边形逼近性质. 该性质使得通过递归细分得到曲线成为可能.

关键词:均匀B样条; C-B-样条; 超越曲线; 二重混合双曲多项式

中图分类号:TP391文献标志码:A

Uniform duplicate mixed hyperbolic polynomial

B-spline curves

YAN Chun

(School of Info. & Tech., Zhejiang Radio & TV Univ., Hangzhou 310030, China)

Abstract: To extend B-spline curves, a kind of uniform duplicate mixed hyperbolic polynomial B-spline curves is proposed. The curves are generated uniformly over the space span{sinh t,cosh t,tsinh t,tcosh t,1,t,…,tk-6,tk-5} where k is an arbitrary integer which is larger than or equal to 5. The properties of the basis and curves of duplicate mixed hyperbolic polynomial B-spline are proved. The duplicate mixed hyperbolic polynomial B-spline curves include accurately the hyperbolic polynomial B-spline curves. The subdivision formula of these new kind of curves are given. Further, the existence of the variation diminishing property and the approximation property of the subdivision control polygon is proved. The approximation property makes it possible for generating the curves by recursive subdivision.

Key words: uniform B-spline; C-B-splines; transcendental curve; duplicate mixed hyperbolic polynomial

收稿日期:2009-05-09修回日期:2009-06-02

作者简介: 严春(1980―),男,浙江桐庐人,工程师,硕士,研究方向为计算机辅助设计及应用,(E-mail)

0引言

样条(Spline)[1-3]是绘图员用来画光滑曲线的1种细木条或细金属条,在画曲线时要求曲线过一些已知点,且强制使木条变得很小. 3次插值样条就是从这个概念中抽象出来的. 现在数学上提到的样条(多项式样条)实质上是指多段分段多项式的光滑连接.

C-B-样条[4-7]是多项式B样条的自然推广,可以精确表示椭圆、摆线和螺线等超越曲线. 通过考虑双曲函数,指数样条可以精确表示一些显著曲线,如双曲线和悬链线,而无须用有理形式. 此外,其微分和积分也比较容易计算. 但因张力指数样条不能应用于高阶自由形式的多项式曲线,故严重束缚它在CAD中的应用.

1二重混合双曲多项式B样条基的构造

令ti=iα(i=0,±1,±2,…;α为区间长度;α≥0)是等分参数轴t的节点集合. 记定义在[ti,ti+1]上的k阶分段二重混合双曲多项式样条集合为Ωk,α,其中的每个函数在节点ti处都是k-2次连续可微的,在每个区间[ti,ti+1]上它是1个k阶双曲多项式. 容易验证在Ωk,α中加法和数乘运算都是封闭的,即Ωk,α是1个线性空间.

定义1如果Ωk,α中的1组基函数Bi(t)满足:

(1)权性,即Bi(t)≥0,且∑iBi(t)1;

(2)最小支集性质,即Bi(t)的非零区间不超过k个.

那么,称这组基函数为k阶二重混合双曲多项式B样条基.

传统B样条空间为多项式函数空间,而二重混合双曲多项式B样条则包含传统的B样条.其中,二重是指Ωk,α的基函数中既包含双曲函数sinh t和cosh t,又包含t sinh t和t cosh t;混合主要是指空间Ωk,α的基函数,是多项式与上述4个函数的组合.下面构造k≥5时Ωk,α中的1组基并讨论这组基函数的性质.

定理1Ω4,α中不存在二重混合双曲多项式B样条基.

证明:假设Ω4,α中存在1组二重混合双曲多项式B样条基. 由权性知,所有基函数的和应为1. 又每个基函数在每个区间上都是{sinh t,cosh t,tsinh t,t cosh t}的线性组合,所以1也应该是{sinh t,cosh t,t sinh t,tcosh t}的线性组合,这与{sinh t,cosh t,t sinh t,t cosh t}是线性无关的事实矛盾.

为了构造当k≥5时空间Ωk,α上的基,定义Ω4,α上的1组函数:N0,4(t)=α(t cosh t-sinh t)8(cosh α-1)2,0≤t≤α

α8(cosh α-1)2[(A-Bα)sinh t+(Aα+α-B)cosh t+Bt sinh t-

At cosh t],α≤t≤2α

α8(cosh α-1)2[(A-Bα)sinh(4α-t)+(Aα+α-B)cosh(4α-t)+

B(4α-t)sinh(4α-t)-A(4α-t)cosh(4α-t)],2α≤t≤3α

α8(cosh α-1)2[(4α-t)cosh(4α-t)-sinh(4α-t)],3α≤t≤4α(1)式中:A=4 cosh2α-1,B=4 sinh α cosh α. 当i≠0时Ni,4(t)=N0,4(t-iα)(2)当k≥5时,则有Ni,k(t)=1α∫tt-αNi,k-1(x)dx(3)图1为1个5阶的二重混合双曲多项式B样条基函数示意图. 下面证明k≥5时,Ni,k(t)(i=0,±1,±2,…)构成Ωk,α中的1组基.

图 15阶二重混合双曲多项式B样条N0,5(t),α=1

2二重混合双曲多项式B样条基的性质

这些性质容易从式(1)~(3)得到第1节所定义的k阶二重混合双曲多项式B样条基的一些性质.

(1)非负性质:Ni,k(t)≥0,t∈(-∞,+∞)(2)局部支撑:Ni,k(t)=>0,t∈(iα,(i+k)α),

=0,其他(3)权性:∑iNi,k(t)1(4)线性无关性:Ni,k(t)在(-∞,+∞)上线性无关. 特别,Ni,k(t),Ni+1,k(t),…,Ni+n,k(t)(n≥k)在区间[(i+k-1)α,(i+n-1)α]上线性无关.

(5)微分:N′i,k(t)=Ni,k-1(t)-Ni+1,k-1(t)证明:N′i,k(t)=1α∫tt-αNi,k-1(x)dx=

1α(Ni,k-1(t)-Ni,k-1(t-α))=

1α(Ni,k-1(t)-Ni+1,k-1(t))(6)对称性:Ni,k(iα+kα-t)=Ni,k(iα+t),t∈[0,kα]证明:因为Ni,k(iα+t)=N0,k(t),t∈[0,kα],只须证明N0,k(kα-t)=N0,k(t). 当k=5时,t∈[0,5α]N0.5(5α-t)=1α∫5α-t4α-tN0,4(x)dx=

1α∫5α-t4α-tN0,4(4α-x)dx=

1α∫tt-αN0,4(y)dy=

N0.5(t)假设当k=l-1时该性质成立,那么当k=l时,有N0,l(t)=1α∫tt-αN0,l-1(x)dx=

1α∫tt-αN0,l-1((l-1)α-x)dx=

1α∫lα-t(l-1)α-tN0,l-1(y)dy=N0,l(lα-t)性质(6)得证.

(7)连续性:Ni,k(t)是整个参数空间上k-2次连续可微的.

3二重混合双曲多项式B样条曲线

利用第2节所定义的基,可以定义整个参数空间上的二重混合双曲多项式B样条曲线. 但在实际的几何模型设计中,参数t的范围往往被限制在1个有限区间,如[a,b]上.

记[a,b]上的k阶二重混合双曲多项式B样条空间为Ωk,α[a,b]. 如果a=kα,b=(n+1)α,那么N1,k(t),N2,k(t),…,Nn,k(t)(n≥k)是Ωk,α[a,b]的1组基(见图2). 因此,可以定义Ωk,α[a,b]上的曲线为

pk(t)=∑ni=1PiNi,k(t),kα≤t≤(n+1)α(4)

式中:Pi是控制点.与B样条曲线类似,二重混合双曲多项式B样条曲线有以下性质:图 2Ni,k(t),…,Nn,k(t)是Ωk,α[kα,(n+1)α]的基函数

性质1(凸包性质)定义在[iα,(i+1)α]上的曲线pk(t)(iα≤t≤iα,i=k,…,n)在由控制点Pi-k+1,…,Pi组成的凸包Hi内,且由式(4)给定的整条曲线在Hi的并集H=∪Hi内. 这是由于二重混合双曲多项式B样条基函数非负且和为1.

性质2(几何不变性)由于pk(t)是控制点Pi的仿射组合,所以其形状不依赖于坐标系的选择.

性质3(局部支持性)1个控制点的移动至多影响到原k阶多项式B样条曲线的k段. 因此,局部调整不会影响到曲线其余部分.

性质4(对称性)控制点排列为P1,P2,…,Pn或者Pn,…,P2,P1不会影响曲线形状,它们只是在走向上相反. 如果不考虑曲线走向,则有∑ni=1PiNi,k(iα+t)=∑ni=1Pn-iNi,k(iα+kα-t),

t∈[0,kα]性质5二重混合双曲多项式B样条曲线的微分:ddtpk(t)=1α∑ni=2Ni,k-1(t)ΔP,kα≤t≤(n+1)α式中:ΔPi=Pi-Pi-1.

4二重混合双曲多项式B样条曲线的细分公式

令Ni,k(α,t)为如式(1)~(3)所定义的以长度α平分参数轴的k阶基函数,如果用单位长度α2平分参数轴t,也即取t′i=iα2为节点,那么由新节点集合得到新的基函数,记这组新的k阶基为Ni,kα2,t.

由定义知,Ωk,α[kα,(n+1)α]由在节点t′i=iα处k-2次连续可微的k阶二重混合双曲多项式B样条曲线构成. 类似地,Ωk,α2[kα,(n+1)α]是由区间[kα,(n+1)α]在节点t′i=iα2处k-2次连续可微的k阶二重混合双曲多项式B样条构成. 易知,Ωk,α[kα,(n+1)α]是Ωk,α2[kα,(n+1)α]的1个子空间,Ωk,α[kα,(n+1)α]中的曲线可以由Ni,kα2,t表出. 当Ωk,α[kα,(n+1)α]分别由Ni,k(α,t)和Ni,kα2,t表出时,其控制点间的关系由以下定理阐明.

定理2(细分公式)令pk(t)是区间长度为α,控制顶点为P1,P2,…,Pn,n≥k的k≥5阶的二重混合双曲多项式B样条曲线,即pk(t)=∑ni=1PiNi,k(α,t)式中:Ni,k(α,t)由式(1)~(3)给定,且t∈[kα,(n+1)α], 而且pk(t)=∑2n-k+1i=1PkiNi+k,kα2,t其中,Pki递归定义如下:

对于i=1,2,…,2n-4,有P5i=4 cosh α2+1P(i+1)/2+2 cosh α+4 cosh α2+4P(i+3)/2+P(i+5)/24cosh α2+12,i为奇数

Pi/2+2 cosh α+4 cosh α2+4Pi/2+1+4 cosh α2+1Pi/2+24cosh α2+12,i为偶数(5)当i=1,2,…,2n-k+1(k>5)时,Pki=Pk-1i+Pk-1i+1/2证明:对k进行归纳. 当k=5时,∑ni=1PiNi,5(α,t)=∑ni=1Pi∫tt-αNi,4(α,x)dx=∑ni=1Pi1α∫tt-α14cosh α2+12N2i,4α2,x+

4 cosh α2N2i+1,4α2,x+(2 cosh α+4)N2i+2,4α2,x+4 cosh α2N2i+3,4α2,x+

N2i+4,4α2,xdx=∑ni=1Pi14cosh α2+12N2i,5α2,t+

4 cosh α2+1N2i+1,5α2,t+2 cosh α+4 cosh α2+4N2i+2,5α2,t+

2 cosh α+4 cosh α2+4N2i+3,5α2,t+4 cosh α2+1N2i+4,5α2,t+N2i+5,5α2,t(6)

由于当t∈[5α,(n+1)α]时,N2,5α2,t=N3,5α2,t=N4,5α2,t=N5,5α2,t=N2n+2,5α2,t=N2n+3,5α2,t=

N2n+4,5α2,t=N2n+5,5α2,t=0,于是有

∑ni=1PiNi,5(α,t)=∑n-2i=114 cosh α2+124cosh α2+1Pi+2 cosh α+4 cosh α2+4Pi+1+

Pi+2N2i+4,5+Pi+2 cosh α+4cosh α2+4Pi+1+2 cosh α2+4Pi+2N2i+5,5

因此,式(5)成立. 现假设式(6)对所有5≤l≤k的l成立,则当l=k时,对于t∈[kα,(n+1)α]有∑ni=1PiNi,k(α,t)=∑ni=1Pi1α∫tt-αNi,k-1(α,x)dx=1α∫tt-α∑ni=1PiNi,k-1(α,x)dx(7)由假设推导,将式(7)化为∑ni=1PiNi,k(α,t)=1α∫tt-α∑2n-k+2i=1Pk-1Ni+k-1,k-1α2,xdx=122α∫tt-α/2∑2n-k+2i=1Pk-1iNi+k-1,k-1α2,xdx+

∫t-α/2t-α∑2n-k+2i=1Pk-1iNi+k-1,k-1α2,xdx=12∑2n-k+2i=1Pk-1iNi+k-1,kα2,t+∑2n-k+2i=1Pk-1iNi+k-1,kα2,t-α2(8)由于当t∈[kα,(n+1)α]时,Nk,kα2,t=N2n+1,kα2,t-α2=0不考虑基函数的排序问题,又有∑ni=1PiNi,k(α,t)=12∑2n-k+2i=2Pk-1iNi+k-1,kα2,t+∑2n-k+1i=1Pk-1iNi+k-1,kα2,t-α2=

∑2n-k+1i=1(Pk-1+Pk-1i+1)2Ni+k,kα2,t=∑2n-k+1[]i=1PkiNi+k,kα2,t定理得证.

定理2说明新的控制多边形如何在细分原控制多边形时得到. 通过重复细分过程可以得到一系列控制多边形.

为了便于说明,用Bk(P;1,n)(t)来记pk(t),其中P=Φ0[P]=[P1,P2,…,Pn]是控制多边形. 令Φ1[P]=[Pk,11,Pk,12,…,Pk,1n]为1次细分后的控制多边形,而Pk,1i=Pki是由式(5)和(6)给定的. 归纳后可记为Φl[P]=Φ[Φl-1P]=[Pk,l1,Pk,l2,…,Pk,lr(l,k)],式中:r(l,k)=2l-1(n-k+1)+k-1,l≥1,为l次细分后的控制多边形. 接下来证明细分次数增加后,控制多边形序列逐步逼近样条曲线.

定理3令Bk(P;1,n)(t)和Φl[P]如上定义, 那么liml∞ Φl[P]=Bk(P;1,n)(t)证明:由定理2和对l的简单归纳,有Bk(Φl[P];1,n)(t)=Bk(P;1,n)(t)令M=maxi|Pi+1-Pi|, 容易得到|Pki+1-Pki|≤2 cosh α21+cosh α22M因此,

|Pk,li+1-Pk,li|≤

2lcoshα2…coshα2l1+coshα22…1+coshα2l2M

于是有|Pk,li+1-Pk,li|≤2 coshα2l1+coshα2l2lM也就是liml∞|Pk,li+1-Pk,li|=0所以,对于任意的i∈{1,…,r(l,k)},j=1,…,k,i+j≤r(l,k)liml∞|Pk,li+j-Pk,li|=0(9)由凸包性质,对任意t0∈[kα,(n+1)α]和确定的i,已经知道Bk(P;1,n)(t0)在凸包{Pk,lj}j=i,…,i+k内. 再综合式(9)可得到liml∞ Φl[P]=Bk(P;1,n)(t)定理3确保控制多边形的递归细分最终生成相应的二重混合双曲多项式B样条曲线. 下面的定理则说明这样的曲线有变差缩减(V.D.)性质,这对CAD工作中防止曲线扰动过度至关紧要.

定理4(V.D.性质)二重混合双曲多项式B样条中,任意平面与生成曲线的交点数不会超过该平面与原控制多边形的交点数.

证明:对于任意选定的平面,该平面与控制多边形的交点在细分后不会增加. 由于控制多边形序列在重复细分后逼近二重混合双曲多项式B样条,所以V.D.性质成立.

定理5(保凸性质)如果控制多边形是凸的,那么生成的二重混合双曲多项式B样条曲线也是凸的.

证明:先令P4i=2 cosh α2+1P(i+1)/2+cosh α+2 cosh α2+2P(i+3)/2/4 cosh α2+42,i为奇数

cosh α+2 cosh α2+2Pi/2+1+2 cosh α2+1Pi/2+2)/4 cosh α2+42,i为偶数可以知道,直线P4i-1P4i与直线P4i+1P4i+2(i为偶数)在多边形内部不会相交(见图4),即把P4i(i=1,2,…,2n-4)作为第1次细分前的控制点时,控制多边形{P41,P42,…P42n-4}是凸的,又可以得到P5i=4 cosh α2+1P4i+P4i+1,i为奇数

P4i-1+4 cosh α2+1P4i4 cosh α2+2,i为偶数图 4控制多边形的细分

即得到真正的第1次细分的控制点P5i(i=1,2,…,2n-4),得到的控制多边形显然也是凸的,由前面的递推公式易知每次细分后控制多边形均保凸,因此由逼近性质生成的二重混合双曲多项式B样条曲线也是凸的.

5结论

得到span{sinh t,cosh t,t sinh t,t cosh t,1,…,tk-6,tk-5}空间上的k(k≥5)阶分段二重混合双曲多项式B样条基,然后介绍二重混合双曲多项式B样条曲线模型,并给出这种曲线的细分公式. 逼近性质使得通过递归细分得到曲线成为可能. 同时,二重混合双曲多项式B样条精确地把双曲多项式B样条包含在内,并且可以表示圆锥螺线.

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